Matematyka - złożenie funkcji

Nasza ocena:

3
Pobrań: 63
Wyświetleń: 1344
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyka - złożenie funkcji - strona 1 Matematyka - złożenie funkcji - strona 2 Matematyka - złożenie funkcji - strona 3

Fragment notatki:


1 Złożenie funkcji Definicja Załóżmy, że f  :  X → Y  ,  g  :  Y → Z  są funkcjami. Złożeniem funkcji f  i  g  nazywamy funkcję  h  :  X → Z  daną wzorem h ( x ) =  g ( f  ( x ))  . Złożenie f  i  g  oznaczamy symbolem  g ◦ f  (  h  =  g ◦ f  ), funkcję f  nazywamy  funkcją wewnętrzną , a funkcję  g  -  funkcją zewnętrzną . 2 Uwaga • Złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. • Złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą. •  Złożenie funkcji rosnącej i funkcji malejącej jest funkcją malejącą. Przykład Określmy funkcje złożone f ◦ f  ,  f ◦ g  ,  g ◦ f  , g ◦ g  , jeżeli  f  ( x ) =  x 2  i  g ( x ) = √ x  . 3 Funkcja odwrotna Definicja Funkcję f  :  X → Y  nazywamy  funkcją różnowartościo- wą (injekcją) , jeżeli ∀x 1 ,x 2 ∈X (  x 1 =  x 2 ) = ⇒ f  ( x 1) =  f  ( x 2)  . Funkcję różnowartościową będziemy oznaczać: f  :  X 1 − 1 −→ Y  . Definicja Funkcję f  :  X → Y nazywamy  funkcją ”na” (surjekcją) , jeżeli Wf  =  Y  , tzn. ∀y∈Y ∃x∈X y  =  f  ( x ) . Funkcję ”na” będziemy oznaczać: f  :  X na −→ Y  . 4 Definicja Funkcję, która jest jednocześnie ”1-1” i ”na” nazywamy funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją) i oznaczamy f  :  X 1 − 1 −→ na Y  . Przykład Czy funkcje zilustrowane grafami lub wykresami są różnowartościowe i ”na” ? 5 6 Uwaga •  Złożenie dwóch funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowarto- ściową. • Funkcja ściśle monotoniczna jest funkcją różnowartościową. Przykład Sprawdźmy, czy funkcja a )  f  ( x ) = 2 x −  3 x  + 1 b )  f  ( x ) = 3 x  + 2 x −  4 jest różnowartościowa w swojej dziedzinie. 7 Definicja Niech f  :  X → Y  będzie funkcja wzajemnie jednoznaczną. Funkcję f − 1 :  Y → X  nazywamy  funkcją odwrotną do funkcji  f  , jeżeli dla każdego x ∈ X  i  y ∈ Y f − 1( y ) =  x ⇐⇒ y  =  f  ( x ) . f − 1  ◦ f  =  IdX ( f − 1  ◦ f  )( x ) =  f − 1( f  ( x )) =  f − 1( y ) =  x f ◦ f − 1 =  IdY ( f ◦ f − 1)( y ) =  f  ( f − 1( y )) =  f  ( x ) =  y 8 Uwaga Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji danej, odbijając go symetrycznie względem prostej y  =  x  . Przykład Wyznaczmy funkcję odwrotną do funkcji: • y  = 1 2 x  + 1 x ∈  R • y  =  x 2  − x x ∈  [1 ,  + ∞ )

(…)


(f −1 ◦ f )(x) = f −1(f (x)) = f −1(y) = x
f ◦ f −1 = IdY
(f ◦ f −1)(y) = f (f −1(y)) = f (x) = y
8
Uwaga Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji
danej, odbijając go symetrycznie względem prostej y = x .
Przykład
Wyznaczmy funkcję odwrotną do funkcji:
• y = 1x + 1
2
• y = x2 − x
x∈R
x ∈ [1, +∞)
9
Funkcje wymierne
Definicja
Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci:
W(x)
y =
,
Q(x)
gdzie W(x) i Q(x) są wielomianami, przy czym Q(x) nie jest
wielomianem zerowym.
Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla
których Q(x) = 0.
W szczególności:
10
a
Funkcję y = , a = 0 nazywamy proporcjonalnością odwrotną.
x
a
jest
Jej dziedziną jest zbiór R
{0} . Wykresem funkcji y =
x
hiperbola.
11
ax + b
Funkcję y =
cx + d
ad − bc = 0 i c = 0.
nazywamy funkcją homograficzną…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz