Matematyka - funkcja wykładnicza

Nasza ocena:

3
Pobrań: 224
Wyświetleń: 1386
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Matematyka - funkcja wykładnicza - strona 1 Matematyka - funkcja wykładnicza - strona 2 Matematyka - funkcja wykładnicza - strona 3

Fragment notatki:


1 Funkcja wykładnicza Definicja Niech a  będzie daną liczbą rzeczywistą taką, że  a   0 i a  = 1 . Funkcję postaci  y  =  ax  nazywamy  funkcją wykładniczą . Dziedziną funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych ( x ∈  R  ), przeciwdziedziną zbiór liczb rzeczywistych dodatnich ( y ∈  R+  ). 2 Spośród nieskończenie wielu funkcji wykładniczych najważniejszą rolę odgrywają dwie: y  = 10 x  i  y  =  ex , gdzie liczba e  = 2 ,  7182818284590452353602874713526624977572470936999  . . . jest niewymierna ( e ≈  2 ,  72  ). Liczba  e  nosi nazwę liczby Eulera (Nepera). Własności funkcji wykladniczej •  Funkcja wykładnicza jest funkcją różnowartościową. Oznacza to, że dla a   0  i  a  = 1 a x 1 =  ax 2 ⇐⇒ x 1 =  x 2 . •  Dla a   1  funkcja wykładnicza  y  =  ax  jest funkcją rosnącą, bo 3 dla dowolnych x 1 , x 2  ∈  R x 1   ax 2 . Przykład Dla jakich wartości zmiennej x  funkcje  f  i  g  mają równe wartości: a) f  ( x ) = 2 5 4 − 4 x , g ( x ) =      1 2      3 x 2 b) f  ( x ) = 0 ,  75 x− 1 3 , g ( x ) =      4 3      6 x 2 4 Przykład Dla jakich wartości zmiennej x  funkcja f  ( x ) = 5 2 x +1  −  5 x przyjmuje wartości dodatnie? Przykład Dane są funkcje f  ( x ) = 4 x +1  −  7  ·  3 x i g ( x ) = 3 x +2  −  5  ·  4 x . Rozwiązać nierówność  f  ( x ) g ( x ) . 5 Logarytm Definicja Logarytmem  liczby rzeczywistej x   0  przy podstawie a  (  a   0  i  a  = 1  ) nazywamy wykładnik potęgi  y , do której należy podnieść liczbę a  , żeby otrzymać  x , tj. log a x  =  y ⇐⇒ a y  =  x. Na przykład: log2 8 = 3 , bo  2 3 = 8 . Logarytm log10  x  nazywamy  logarytmem dziesiętnym  i oznaczamy krótko log  x . Logarytm log e x  nazywamy  logarytmem naturalnym  i oznaczamy krótko ln  x . 6 Własności logarytmu • log a  1 = 0 • log a a  = 1 • log a a y  =  y • a log a x  =  x , gdzie a   0  i  a  = 1  oraz  x   0  i  y ∈  R . Twierdzenie  (Własności działań na logarytmach) Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x ,  y ,  a ,  b  (  a  = 1  , b  = 1  ) i  p ∈  R  zachodzą wzory: • log a  ( x · y ) = log a x  + log a y •

(…)

…, bo dla dowolnych x1, x2
0 < x1 < x2
=⇒
loga x1 < loga x2.
• Dla 0 < a < 1 funkcja logarytmiczna y = loga x jest funkcją
malejącą, bo dla dowolnych x1, x2
0 < x1 < x2
=⇒
loga x1 > loga x2.
10
y = loga x jest funkcją odwrotną do
funkcji wykładniczej y = ax.
Funkcja logarytmiczna
Przykład
Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
a) f (x) = log7 log0,5(x2 − 7x + 12) + 1
b) f (x) = log3 log0,5(x + 2) + 2
Wykazać, że wykresy…
… y
y
• loga xp = p · loga x
logb x
1
• loga x =
, w szczególności loga b =
.
logb a
logb a
7
Przykład
Obliczyć:
a) log√2 0, 25
b)
1 −log
1000 3
Przykład
log14 5 = b.
c) log 1 3

3

3
3
9
3
d) 92 log3 2+4 log81 2
Obliczyć log35 28 , jeżeli wiadomo, że log14 2 = a i
8
Funkcja logarytmiczna
Definicja
Niech
a
będzie daną liczbą rzeczywistą taką, że
a > 0 i a = 1. Funkcję postaci y = loga x nazywamy…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz