To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Wykład pierwszy Oznaczenia N – zbiór liczb naturalnych Z – zbiór liczb całkowitych Q – zbiór liczb wymiernych R – zbiór liczb rzeczywistych ∀ – kwantyfikator ogólny – ”dla każdego” ∃ – kwantyfikator szczegółowy – ”istnieje” Podstawowe własności funkcji X, Y - dowolne zbiory niepuste; f : X → Y - funkcja f określona na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y . x - argument funkcji f (zmienna niezależna); y = f ( x ) wartość funkcji f (zmienna zależna). X df = Df - dziedzina funkcji f ; Rf df = {y ∈ Y : y = f ( x ) dla pewnego x ∈ Df } - przeciwdziedzina funkcji f. Jeśli Df ⊂ R , Rf ⊂ R, to f - funkcja liczbowa. Def. 1. Funkcje f 1 , f 2 są równe, jeśli 1) Df 1 = Df 2 ; 2) ∀x ∈ Df 1 [ f 1( x ) = f 2( x )] . Def. 2. Niech f : X → Y i A ⊂ X . Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A , jeśli ∀x 1 , x 2 ∈ A [ x 1 = x 2 ⇒ f ( x 1) = f ( x 2)] ≡ ∀x 1 , x 2 ∈ A [ f ( x 1) = f ( x 2) ⇒ x 1 = x 2] Def. 3. Niech f : X → Y , g : Y → Z . Funkcja złożona (superpozycja) funkcji f (f. we- wnętrzna) i g (f. zewnętrzna)to funkcja h : X → Z określona wzorem ∀x ∈ X [ h ( x ) df = g ( f ( x )) . h ozn = g ◦ f . Jeśli f : X → Y taka, że Rf = Y i f - różnowartościowa, to można określić funkcję g : Y → X wzorem ∀x ∈ X, y ∈ Y [ g ( y ) = x df ⇔ f ( x ) = y ] Funkcja g ozn = f − 1 - funkcja odwrotna do funkcji f . Uwaga 1. f ◦ f − 1 = idY , f − 1 ◦ f = id X . 2 Def. 4. Funkcja f : X → Y jest parzysta, jeśli ∀x ∈ X [ −x ∈ X ∧ f ( −x ) = f ( x )]; Funkcja f : X → Y jest nieparzysta, jeśli ∀x ∈ X [ −x ∈ X ∧ f ( −x ) = −f ( x )]. Uwaga 2. Iloczyn dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą. Iloczyn funkcji parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcja nieparzystą. Def. 5. Funkcja f : X → Y jest rosnąca (odp.niemalejąca) na zbiorze A ⊂ X , jeśli ∀x 1 , x 2 ∈ A [ x 1 f ( x 2)] (odp. ∀x 1 , x 2 ∈ A [ x 1
(…)
… monotoniczna) na zbiorze A, jeśli jest na
tym zbiorze niemalejąca lub nierosnąca (odp. rosnąca lub malejąca).
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym przedziale O = (x0 − δ; x0 + δ).
Def. 8. Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne (odp. minimum lokalne), jeżeli
∀x ∈ O1 ⊂ O [f (x)
f (x0 )] (odp. ∀x ∈ O1 ⊂ O [f (x)
f (x0 )])
Funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, jeśli ma w tym punkcie minimum lub
maksimum lokalne. Jeśli w definicji zamiast nierówności słabej jest nierówność mocna, to
ekstremum jest właściwe.
Funkcje cyklometryczne (kołowe)
π π
ma przeciwdziedzinę −1 ; 1 i jest różnowartościoFunkcja x = sin y na przedziale − ;
2 2
wa. Na zbiorze −1 ; 1 określona jest funkcja odwrotna arkus sinus (arcsin):
π π
y = arcsin x ⇔ x = sin y i y ∈ − ;
2 2
Funkcja x = cos y na przedziale 0 ; π…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)