Metoda faktoryzacji do równania oscylatora harmonicznego

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 700
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu

Fragment notatki:

Metoda faktoryzacji do równania oscylatora harmonicznego (15)
Analizie poddajemy różnicę . (16)
Ten operator w nawiasie jest równoważny do operatora (-1).
(17)
Wracamy do równania oscylatora
(18)
Z tożsamości (16) wynika:
(19)
Można sprawdzić, że
(20)
Pozwala to rozwiązać równanie w taki sposób, że wprowadza się operatory:
(21)
(22) przy czym , gdzie jest rozwiązaniem równania z operatorem dla wartości własnej . Pamiętać należy, że daje wartość λ większą o n ( ), a obniża wartość λ o 1 ( ).
Stąd:
(23)
i
(24)
Równania (23) i (24) przedstawia zagadnienie o wartościach własnych dla rozwiązania równania. Podsumowanie Istnieją dwa sposoby tworzenia funkcji specjalnych:
1. za pomocą szeregów potęgowych (25)
gdzie współczynniki określają funkcję (regularną), a w otoczeniu punktu x=0 szukamy rozwiązania równania różniczkowego.
2. za pomocą metody faktoryzacji
(26)
Tego typu operatory tworzą przestrzeń rozwiązań dla oscylatora kwantowego.
(27)
(28) Mając równanie to mnożąc przez dostajemy:
(29)


(…)

…. W takim przypadku można udowodnić twierdzenie o istnieniu i stabilności przy pewnych ograniczeniach na funkcji f. Rozwiązanie można zaznaczyć jako . Twierdzenie daje się udowodnić przez reprezentację równania (5) przez równanie algebraiczne (6). Korzystając z niego napiszemy:
(9)
To najprostszy algorytm do obliczenia. Poza tym łatwo spostrzec, że układ (8) daje się zastąpić przez (9).
Np. (10…
…, że .
Uwaga W ten sposób można wygenerować wielomiany Legendre'a i funkcje Bessela. Każda z tych funkcji specjalnych rozwiązuje pewne równania różniczkowe drugiego rzędu.
Rozwiązanie przybliżone. Metody numeryczne.
Wcześniej poznaliśmy sposób rozwiązania przybliżonego poprzez szeregi potęgowe. Pewne uogólnienie daje metoda Frobeniusa. Istnieje jednak jeszcze tzw. metoda kodów numerycznych. Oznacza to, że jego podstawą jest możliwość zastępstwa pochodnej przez różnicę :
, (1) Istnieje możliwość korzystania z przybliżonego opisu pochodnej, ze wzoru Taylora. Mając funkcję , istnieje rozwinięcie w szereg Taylora obok punktu .
(2)
, (3)
Rozważmy następujące równanie różniczkowe pierwszego rzędu:
(4)
Równanie to można zastąpić przez
(5)
lub w postaci indeksów jako
(6)
(7)
Rozważając sytuację fizycznie…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz