Zagadnienie kolejek

Nasza ocena:

3
Pobrań: 112
Wyświetleń: 1393
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Zagadnienie kolejek - strona 1 Zagadnienie kolejek - strona 2 Zagadnienie kolejek - strona 3

Fragment notatki:

  1  Zagadnienie kolejek    HISTORIA:  Teoria  kolejek  (queueing  theory)  narodziła  się  w  czasie  II  wojny  światowej  przy  rozwiązywaniu  różnorakich  problemów  wojskowych  np.  lądowanie  wielu  bombowców  na  stosunkowo  niewielkiej liczbie lotnisk o małej powierzchni.     TERAŹNIEJSZOŚĆ:  Obecnie  teoria  kolejek  też  jest  wykorzystywana  do  rozwiązywania  różnego  typu  problemów  np.:  kolejki  do  kas  w  sklepie,  na  poczcie,  kolejki  przed  gabinetami  lekarskimi,  wsiadanie  do  wind wielu  ludzi  (budynek finansów), sygnalizacja świetlna (kolejki na skrzyżowaniach, teoria sygnałów).  Istnieją też związki z demografią (zgony i urodziny w populacji, wykorzystanie tego samego narzędzia).    PRZYKŁAD: My zajmiemy się problemem kolejki do jednej lub wielu kas (kanałów obsługi).   Klient: oczekuje, że nie będzie kolejki, ewentualnie, iż będzie nieduża (długość kolejki). Nie chce też długo  stać w kolejce (czas obsługi).  Właściciel:  interesuje  go  nieprzerwana  praca  kasjerów  oraz  możliwe  pełne  wykorzystanie  obsady  kas  (dłuższy brak kolejki jest nieopłacalny). Z drugiej strony musi brać pod uwagę potrzeby klienta gdyż inaczej  może  go  utracić.  Dba  więc  o  sprawność  obsługi  (tańsze  wyjście),  ewentualnie  w  razie  potrzeby  otwiera  dodatkowe stanowisko kasowe (trzeba skalkulować koszty czy się opłaci).    Ważne jest więc czy kolejka kurczy się, wydłuża czy pozostaje niezmieniona w czasie. Interesujące byłoby  więc stworzenie modelu, który opisywałby tą sytuację, a jego parametry  powinny być związane z  czasem  oczekiwania  w  kolejce  i  jej  długością.  Ściśle  z  tym  związana  jest  częstość  przybyć  do  kolejki  oraz  sprawność obsługi.    KONSTRUKCJA MODELU    Zał.1: Jedna kolejka, obsługa wg. kolejności przybycia (bez żadnych preferencji dla wybranych jednostek).    1.  POJEDYNCZY KANAŁ OBSŁUGI  a.  Strona przybyć  b.  Strona obsługi  c.  Mechanizm powstawania kolejki  2.  WIELE KANAŁÓW OBSŁUGI (uogólnienie przypadku 1)    1a   X – okres czasu upływający między dwoma, kolejnymi przybyciami;  X – ilość przybyć w danym okresie czasu t;  Są  to  zmienne  losowe.  Nie  wiemy  bowiem  na  jakiej  zasadzie  następują  przybycia  do  kolejki  i  od  czego  zależy czas pomiędzy nimi.  A0(t) = P(X  t) – dystrybuanta przybyć, określa prawdopodobieństwo, że pomiędzy momentami przybycia  dwóch, kolejnych jednostek upłynie okres czasu t lub krótszy.  W0(t) = P(X  t) – przeciwieństwo, które oznacza też, że przez okres czasu t nikt nie przybył do kolejki. 

(…)

…. Jaki ona ma rozkład, gdy X ma rozkład wykładniczy?
ZAD. DOM. Udowodnić, że X ma rozkład Poissona o parametrze t tzn., że: P(X = n) = (t)ne-t/n!.
Zauważmy, że P(X = 0) = W0(t), stąd oznaczymy P(X = n) = Wn(t).
1b (analogicznie do 1a)
Y – czas obsługi jednej jednostki;
Y – ilość obsłużonych osób w danym okresie czasu t;
B0(t) = P(Y  t) – dystrybuanta obsługi;
V0(t) = P(Y > t) – prawdopodobieństwo, że obsługa…
…, jeśli chcemy dotrzymać tego terminu (tzw. ścieżka krytyczna). Wyjaśnić sposób
obliczania podstawowych charakterystyk sieci np. nazwy i zawartość ćwiartek, zapas czasu czynności itd..
Ad.2 W metodzie PERT zakładamy, iż czasy realizacji czynności i moment nastąpienia zdarzenia nie muszą
być znane. Ma to swoje uzasadnienie. Przede wszystkim deterministyczne określenie czasu trwania
czynności za pomocą jednej…
… jest w przybliżeniu równy rozkładowi sumy czynności z oczekiwanej ścieżki
krytycznej będących zmiennymi niezależnymi o rozkładzie beta. Zgodnie z centralnym twierdzeniem
granicznym rozkład terminu końcowego jest wtedy w przybliżeniu normalny, o wartości oczekiwanej
równej sumie wartości oczekiwanych czynności ze ścieżki krytycznej. Analogicznie rzecz ma się z
wariancją terminu końcowego (często przyjmuje się dodatkowo, że wszystkie czynności mają po prostu
rozkład normalny). Gorzej gdy występują dwie lub więcej oczekiwanych ścieżek krytycznych. Wzajemny
wpływ na siebie takich ciągów czynności nie jest już zaniedbywalny i można go częściowo uwzględnić
wyliczając poprawki czasu oczekiwanego wierzchołka gdzie się łączą (zob. Bladowski str.158). Można też
korygować czas średni tego zdarzenia za pomocą tzw. wzorów Clarka uwzględniających wzajemne
korelacje poszczególnych czynności (Bladowski str. 163 – 172). Nie będziemy głębiej drążyć tego tematu a
w przypadku większej liczby oczekiwanych ścieżek krytycznych wybierzemy arbitralnie tą o największej
wariancji mając świadomość występowania większej niepewności gdy nie uwzględniamy ich istotnego
wzajemnego wpływu. Oznaczmy więc przez tk termin końcowy zakończenia…
…. Stąd, na mocy tw.1 i 2:
Wniosek (WK i WW) Funkcja f, o ciągłych drugich pochodnych cząstkowych, osiąga w punkcie xo
minimum  f’xi (xo) = 0, dla i= 1,…,n oraz hesjan jest dodatnio półokreślony dla każdego x.
UWAGA: Ponownie maksimum funkcji wklęsłej bada się poprzez analizowanie minimum funkcji wypukłej
–f.
Sytuacja wygląda podobnie gdy szukamy warunku wystarczającego dla funkcji nie będącej wypukłą…
… lub
innego minoru jest równy zero (w tym punkcie) sytuacja dalej nie jest jasna (może tam być ekstremum ale
nie musi) i trzeba zastosować dodatkowe kryteria dotyczące warunków wystarczających na ekstrema
lokalne. W literaturze sugeruje się tu zastosowanie pochodnych wyższych rzędów niż drugi, bądź też
obliczenie wartości własnych Hesjanu dla punktu spełniającego warunek konieczny.
UWAGA: Znaki wartości…
… transmitancji przez odpowiednie kawałki wyznacznika po wszystkich kaskadach;
REGUŁA MASONA:
wE = Gkk/. (transmitancja równoważna sieci).
4e Ilustracja zastosowania w praktyce metody GERT
Przykład (str. 197-200 Kukuła z poprawionymi kierunkami strzałek i z opisami rozkładów czasów
czynności)
Przedsiębiorstwo produkuje silniki do pralek automatycznych, a kolejność wykonywania
poszczególnych czynności…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz