Przykład 6.5. Zadania do samodzielnego rozwiązania
ZADANIE 1. Dla następującego stanu naprężenia
0 14 0
σ = 14 0 14 [MPa ]
0 14 0
obliczyć naprężenia główne. Zilustrować stan naprężenia na rysunku w układzie wyjściowym
oraz po obrocie do osi głównych.
ZADANIE 2. Dla podanych tensorów naprężenia wyznaczyć: naprężenia główne
i odpowiadające im kierunki główne; wektory naprężenia pn , wektory naprężenia normalnego
σ n oraz wektory naprężenia stycznego τ n w przekroju określonym wektorem normalnym n .
3 2 − 1
a) σ = 2 6 0 [MPa ] , n = [1, 2, −3] ;
− 1 0 1
2 0 1
b) σ = 0 − 1 3 [MPa ] , n = [ 1 , 1 ,
2 2
1 3 2
1 ]
2
4 − 2
c) σ =
[MPa ] , n = [1,− 1] .
1
− 2
ZADANIE 3. W pewnym punkcie na powierzchni ciała określono stan odkształcenia,
mierząc wydłużenia ε a , ε b , ε c w trzech kierunkach: a, b, c. Znaleźć składowe stanu
odkształcenia w układzie osi xy oraz odkszałcenia główne.
y
y
c
b
45°
60°
a
150°
30°
a)
x
c
b)
b
45°
a
x
ZADANIE 4. Sprawdzić, czy poniższe związki mogą opisywać stan naprężenia dla ciała
będącego w równowadze, gdy składowe sił masowych fi=0
a) σ x = 7 y 2 − 5 , σ y = −5 y , τ xy = 5 x + 8 ;
2
b) σ 11 = 6 x3 + x 2 , σ 22 = 4 x1 x 2 , σ 33 = 4 , σ 12 = −10 , σ 13 = 8 x 2 x3 + x1 , σ 23 = −8 x1 + x 2 .
ZADANIE 5. Sprawdzić, czy następujące równania mogą opisywać stan odkształcenia:
(
)
2 2
2
a) ε 11 = k x3 x1 + x 2 ,
(
)
2
2
b) ε 11 = 4 x1 + x 2 ,
2
ε 22 = k x3 ,
2
ε 22 = k x3 ,
ε 12 = k x1 x 2 , ε 13 = ε 23 = ε 33 = 0 .
ε 12 = 5 x1 x 2 , ε 13 = ε 23 = ε 33 = 0 .
Wskazówka: Wykorzystać równania nierozdzielności odkształceń:
∂ 2 ε xx
∂y 2
∂ 2 ε yy
∂z 2
∂ 2ε zz
∂x 2
+
∂ 2 ε yy
∂x 2
+
∂ 2ε zz
+
∂ 2ε xx
∂y 2
∂z 2
=2
=2
=2
∂ 2ε xy
∂ 2 ε xy
2
∂ 2 ε xz ∂ ε yz ∂ 2 ε xx
+
−
=
∂x∂z
∂x∂y
∂y∂z
∂x 2
∂y∂x
∂ 2 ε yz
∂ 2ε yz
∂y∂z
∂x∂y
∂ 2ε xz
∂x∂z
+
∂ 2ε xy
∂y∂z
−
∂ 2ε xz
∂y 2
=
∂ 2ε yy
∂x∂z
2
2
∂ 2ε xz ∂ ε yz ∂ ε xy ∂ 2ε zz
+
−
=
∂y∂z
∂x∂z
∂x∂y
∂z 2
ZADANIE 6. Jaki warunek musi spełniać funkcja ϕ ( x1 ,x 2 ) , aby poniższe równania mogły
opisywać stan odkształcenia
ε 11 =
∂ 2ϕ
2
∂ x2
,
ε 22 =
∂ 2ϕ
2
∂ x1
,
ε 12
∂ 2ϕ
=−
,
∂ x1 ∂ x 2
ε 13 = ε 23 = ε 33 = 0 .
ZADANIE 7. Dla pola przemieszczeń opisanego funkcjami:
a) u 1 = 2 x12 + 3x 2 − 2 x3 ,
2
u 2 = x 2 −3x3 ,
2
u 3 = − x3 + 2 x1 + 3x 2
b) u 1 = 4 x12 x3 ,
2
u 2 = 2 x 2 + x1 x3 ,
2
u 3 = −2 x1 + 6 x3 .
c) u 1 = 4 x12 − x1 x 2 ,
2
u 2 = −3 x1 + x2 ,
u3 = 0
znaleźć tensor naprężenia w punkcie o współrzędnych (1,2,3), naprężenia główne w tym
punkcie, siły masowe, składowe wektora naprężenia na płaszczyźnie o równaniu x2 = 2.
Materiał jest izotropowy, a stałe sprężystości wynoszą: E, ν.
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)