Zadania cz. 1

Zestaw I
1. Jakie warunki muszą być spełnione aby:
( A ∪ B ) ∩ ( A' ∪ B ) ∩ ( A ∪ B') = ∅
Odp.: A ∩ B = ∅
1
1
2
, P ( A ∩ B ) = , P ( A ∪ B ) = , oblicz: P(B ) , P( A ∩ B') , P(B − A) .
3
4
3
1
5
Odp.: P (B ) = , P ( A ∩ B') = , P(B − A) = 0
6
12
2. Dane są: P( A') =
3. Szansa zdarzenia A wynosi 1:3, zdarzenia B 1:2, zdarzenia A i B są rozłączne. Oblicz
szansę A ∪ B .
Odp.: 7:5
4. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania przez brydżystę jednego asa i jednego króla.
⎛ 4 ⎞⎛ 4 ⎞⎛ 44 ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ 1 ⎟⎜ 1 ⎟⎜ 11 ⎟
Odp.: ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 52 ⎞
⎜ ⎟
⎜ 13 ⎟
⎝ ⎠
5.
W szafie znajduje się pięć par butów. Wyjęto z szafy w sposób losowy cztery buty. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzeń:
A - wśród wybranych butów nie ma ani jednej pary
B - wśród wybranych butów jest co najmniej jedna para
⎛ 5⎞ 4
⎜ ⎟2
⎜ 4⎟
Odp.: P( A) = ⎝ ⎠ , P(B ) = 1 − P( A)
⎛10 ⎞
⎜ ⎟
⎜4⎟
⎝ ⎠
6. Zagadnienie Buffona o igle: dla a d . ( a - długość igły, d - odległość między
równoległymi prostymi).
⎡
⎛
⎛ d ⎞⎞ d
⎛ d ⎞⎤
2a ⎢1 − sin ⎜ arccos⎜ ⎟ ⎟ + arccos⎜ ⎟⎥
⎜
⎟ a
⎝ a ⎠⎠
⎝ a ⎠⎦
⎝
⎣
Odp.:
πd
7. W losowej chwili τ ∈ (0; T ) pojawia się szkoda ubezpieczeniowa. Ustalmy chwilę t ∈ (0; T ) .
Zbadaj, czy zdarzenia:
A - szkoda pojawi się po chwili t
B - szkoda pojawi się przed chwilą T − t
są niezależne.
Odp.: NIE
8. Winda wyposażona jest w dwa układy hamowania włączające się automatycznie (obydwa)
w razie zerwania się liny. Przy tym prawdopodobieństwo wyhamowania przez każdy układ
z osobna jest jednakowe i wynosi 0,99. Jakie jest prawdopodobieństwo: a) wyhamowania
windy w razie zerwania się liny, b) spadnięcia kabiny windy w razie zerwania liny, jeśli
prawdopodobieństwo tego ostatniego zdarzenia wynosi 0,00001?
Odp.: a) 0,9999 b) 10 −9
9. Paradoks kawalera de Mere. Przy rzucie trzema kostkami sumę 11 i 12 oczek można
otrzymać na tyle samo sposobów. Dlaczego częściej wypada suma 11 oczek?
10. Jaka jest szansa, że na przyjęciu spotkasz osobę, obchodzącą urodziny tego same dnia, co
Ty? Ile osób powinno być na przyjęciu (n+1 razem z Tobą), żeby ta szansa przekraczała ½?
n
1 ⎞
⎛
Odp.: 1 − ⎜1 −
⎟ , n ≥ 253
⎝ 365 ⎠
11. Pręt o długości l złamano losowo na trzy części. Obliczyć prawdopodobieństwo, że z trzech
otrzymanych odcinków można zbudować trójkąt.
Odp.: ¼
12. Satelita Ziemi porusza się po orbicie, która leży między 60 o szerokości północnej a 60 o
szerokości południowej. Uważając upadek satelity w każdym punkcie powierzchni Ziemi
między podanymi szerokościami za jednakowo możliwy, znaleźć prawdopodobieństwo, że
satelita upadnie w punkcie o szerokości północnej większej niż 30 o .
3− 3
Odp.:
6
13. W małym schronisku są trzy pokoje: czteroosobowy, trzyosobowy i dwuosobowy.
Dziwnym trafem schronisko jest puste, gdy pojawia się grupa 6 turystów i natychmiast
zajmuje miejsca całkowicie losowo. Jaka jest szansa, że jeden pokój pozostanie wolny?
⎛7⎞ ⎛6⎞
⎜ ⎟6!+⎜ ⎟6!
⎜ 6⎟ ⎜6⎟
Odp.: ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛9⎞
⎜ ⎟6!
⎜ 6⎟
⎝ ⎠
14. Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia w przedziale czasu (t1 ,t 2 ) dane jest
wzorem
t2
P(t1 ≤ t ≤ t

(…)

…, że jeżeli 0 < P(B ) < 1 oraz A i B są zdarzeniami niezależnymi, to
P ( A / B ) = P ( A / B ') .
22. Wykaż, że jeżeli ∀ P ( Ai ) ≠ 0 , to
i
P( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An ) = P( A1 / A2 ∩ ... ∩ An )P( A2 / A3 ∩ ... ∩ An ) ⋅
⋅ P( A3 / A4 ∩ ... ∩ An )...P( An −1 / An )P( An )
23. W pewnej populacji genotypy DD , Dd , dd (gdzie D jest genem dominującym, a d jego
allelem recesywnym) występują z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio p 2 , 2 pq ,
q 2 (przyjmuje się, że Dd i dD nie są rozróżnialne), gdzie p + q = 1 . Wiadomo, że pewien
osobnik należy do genotypu DD . Obliczyć prawdopodobieństwo, że oboje jego rodziców
należą do genotypu Dd .
Odp.: q 2
24. W pewnej populacji genotypy DD , Dd , dd (gdzie D jest genem dominującym, a d jego
allelem recesywnym) występują z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio p 2…
…, że na pierwszej kostce wypadła jedynka.
Odp.: 1/6
16. Przy danych P ( A / B ) =
P (B − A)
1
oblicz
.
P (B )
3
Odp.: 2/3
17. Przy danych P( A) =
1
1
1
, P( A / B ) = , P (B / A) = oblicz P(B ) .
3
5
2
Odp.: 5/6
18. W każdej nowo wyprodukowanej partii żarówek 99% wyrobów jest dobrych, a na każde sto
żarówek dobrych 90 jest pierwszego gatunku. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo
wybrana żarówka jest pierwszego…
... zobacz całą notatkę