Uzupełnienie - o zależności zdarzeń

Problem zależności zdarzeń Rekwizyty: Talia kart, Jocker Problem: Z talii zawierającej  52 karty losujemy jedną kartę. Ile możliwych zdarzeń?   52 ?  Nie, znacznie więcej    Ile ? Interesują nas jednak tylko dwa zdarzenia: Zdarzenie  A  -  polegające na wyciągnięciu pika  Zdarzenie  B   - polegające na wyciągnięciu asa  Zdarzenia A i B  są zależne czy niezależne?  Naukowo Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeżeli prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem B równe jest prawdopodobieństwu bezwarunkowemu zdarzenia A.  ( ) ( ) A P B | A P B A, = ←→ def ne z niezale& (1) Z faktu, że P(A|B) = P(A) wynika, że P(B|A) = P(B). Powyższą definicję można zatem zapisać inaczej:  ( ) ( ) ( ) B P A P B A P B A, ⋅ = ⋅ ←→ def ne z niezale&  (2) czyli: zdarzenia losowe są niezależne, jeżeli prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń równe jest iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.  Policzmy odpowiednie prawdopodobieństwa: ( ) ( ) 13 1 52 4 B P 4 1 52 13 A P = = = = = = n n n n B A Sprawdzamy niezależność na podstawie definicji (1): ( ) B | A P , czyli prawdopodobieństwo warunkowe tego, że jeżeli wylosowana karta jest asem to jest również pikiem obliczymy z definicji: ( ) ( ) ( ) P(A) 4 1 52 4 52 1 B P B A P B | A P = = = = ⋅ = n n n n B AB def   stąd wniosek (*) Można też sprawdzić (chociaż nie trzeba) , że  ( ) A | B P , czyli prawdopodobieństwo, że jeżeli wylosowana karta jest pikiem, to jest ona również asem: ( ) P(B) 13 1 52 13 52 1 A | B P = = =  skąd również wynika wniosek (*) Może wygodniej byłoby sprawdzić niezależność według (2): ( ) ( ) ( ) 52 1 52 4 52 13 B P A P oraz 52 1 B A P = ⋅ = ⋅ = ⋅   czyli ten sam wniosek (*) (*) Wniosek :  Zdarzenia A i B są niezależne. Logicznie -  Jeżeli wylosowano jedną kartę to możemy powiedzieć, że w jednym na cztery przypadki będzie to pik (13/52 = 1/4), -  Jeżeli dowiemy się, że wylosowano asa, to nadal nie zmienimy swojej odpowiedzi i powiemy, że w jednym na cztery przypadki to pik (1/4) -  Nie zmieniamy prawdopodobieństwa  (1/4 = 1/4) – zdarzenia niezależne. Czy odpowiedź ulegnie zmianie po dodaniu do talii jockera?   ( Sprawdzić naukowo ) -  Teraz po wylosowaniu karty możemy powiedzieć, że w 13 przypadkach na 53 ta karta to pik (13/53) -  Jeżeli teraz dowiemy się, że wylosowaną kartą jest as to zmienimy naszą odpowiedź, stwierdzając, że w takiej sytuacji w jednym na cztery przypadki (a nie w 13 na 53) wylosowaną kartą jest pik (13/52 = 1/4 )  ... zobacz całą notatkę