To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Prawdopodobieństwo. Rozkład prawdopodobieństwa
Dana jest przestrzeń zdarzeń elementarnych i rodzina S podzbiorów tej przestrzeni.
Na rodzinie S określamy funkcję rzeczywistą P, o której zakładamy, Ŝe spełnia następujący układ aksjomatów:
1. Dla kaŜdego zdarzenia A∈ S P( A ) ≥ 0, czyli funkcja P() jest nieujemna.
2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: P ( ) = 1.
3. Dla kaŜdego ciągu A1, A2, ... zdarzeń parami rozłącznych, tzn.
∞
∞
i =1
prawdziwa jest równość:
( Ai ∩ Aj ) = 0 dla i, j=1,2,..; i ≠ j
i =1
P(U Ai ) = ∑ P( Ai )
czyli P jest przeliczalnie addytywną funkcją zbioru.
Funkcję P spełniającą układ tych 3-ch aksjomatów nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa na rodzinie S.
Rozkład prawdopodobieństwa jest to więc funkcja, której argumentami są zdarzenia losowe, wartościami zaś
liczby.
Wartość zaś tej funkcji dla jednego zdarzenia będziemy nazywać prawdopodobieństwem tego zdarzenia.
Sformułowanie:
„obliczyć prawdopodobieństwo” będzie na ogół oznaczać obliczenie konkretnej wartości liczbowej.
Natomiast sformułowanie:
„znaleźć rozkład prawdopodobieństwa” będzie oznaczać, Ŝe naleŜy określić funkcję P.
Podstawowe własności rozkładu prawdopodobieństwa ( funkcji P )
Twierdzenie 1.1.
Prawdopodobieństwo zdarzenia niemoŜliwego wynosi 0: P( ∅ ) = 0 .
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. z faktu, Ŝe P( A ) = 0 nie wynika, Ŝe zdarzenie A jest
zdarzeniem niemoŜliwym.
Twierdzenie 1.2.
Funkcja P jest funkcją addytywną, tzn. dla dowolnego układu zdarzeń A1 , A2 ,..., An
n
i =1
rozłącznych, zachodzi:
n
i =1
P(U Ai ) = ∑ P( Ai )
Twierdzenie 1.3.
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wyraŜa się wzorem:
P( A ) = 1 − P( A)
Twierdzenie 1.4.
Dla dowolnych zdarzeń A oraz B, zachodzi:
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) − P( A ∩ B )
Twierdzenie to metodą indukcji matematycznej moŜna uogólnić na przypadek dowolnej liczby n
składników.
Twierdzenie 1.4a
Dla ciągu n zdarzeń elementarnych
A1 , A2 ,..., An ∈ Ω , otrzymamy:
n
P ∪ Ai = ∑ P( Ai ) − ∑ P( Ai ∩ Aj ) + ∑ P( Ai ∩ Aj ∩ Ak ) −
i =1
1≤ i ≤ n
1≤ i
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)