To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Metody probabilistyczne i statystyka
Stochastyka - rachunek prawdopodobieństwa, kombinatoryka i statystyka. Przestrzenią probabilistyczną nazywamy parę , gdzie:
Ω jest dowolnym zbiorem co najmniej dwuelementowym oraz skończonym albo nieskończonym, ale przeliczalnym,
p jest funkcją ze zbioru Ω w zbiór liczb rzeczywistych i jest rozkładem prawdopodobieństwa na tym zbiorze Ω. Zbiór nazywamy przeliczalnym jeśli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω wtedy, gdy:
, gdzie ,
. Przedmiotem rachunku prawdopodobieństwa jest konstruowanie i badanie przestrzeni probabilistycznych. Klasyczną funkcją probabilistyczną nazywamy taką funkcje p, że: , dla każdego . Wtedy nazywamy klasyczną przestrzenią probabilistyczną. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, eksperyment, zjawisko (realne lub pomyślane), o przebiegu i wyniku którego decyduje przypadek, przy czym:
Ω jest co najwyżej przeliczalny,
dla każdego wyniku da się określić prawdopodobieństwo, z jakim to doświadczenie może się z tym wynikiem zakończyć, gdy będzie wykonane w przyszłości (za chwilę, jutro, za miesiąc...). Parę nazywamy modelem probabilistycznym zdarzenia losowego. Model probabilistyczny zdarzenia losowego zawsze jest przestrzenią probabilistyczną. Przyrząd losujący - przedmiot, za pomocą którego wykonujemy doświadczenie losowe. Jeżeli doświadczenie losowe przebiega etapami to jego wynik przedstawiamy jako ciąg wyników kolejnych etapów. Rozkład dwumianowy: . Rozkład geometryczny: . Dwumian Newtona: . Próbą Bernoullego nazywamy doświadczenie, w którym są dwa możliwe wyniki, sukces i porażka: 0 - porażka 1 - sukces Powtarzanie n razy (n1) próby Bernoullego nazywamy schematem Bernoullego o n próbach. Każdy wynik schematu Bernoullego jest k-wyrazowym ciągiem o wyrazach ze zbioru dwuelementowego . - zbiór wszystkich wyników schematu Bernoullego o n próbach , gdzie k jest liczbą jedynek w ciągu ω, oraz . Populacją nazywamy każdy zbiór, którego elementy interesują nas ze względu na pewną cechę. Bijekcja zbioru: Funkcję f nazywamy bijekcją jeśli jest to funkcja różnowartościowa oraz . Zdarzenie jest to zbiór pewnych wyników doświadczenia:
zbiór A jest zdarzeniem w danej przestrzeni , gdy ,
- rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Ω,
- zdarzenie niemożliwe - zdarzenie pewne Pozostałe to zdarzenia prawdopodobne. Jeśli jest przestrzenią probabilistyczną i jeśli
(…)
…. Z twierdzenia Poissona wynika następujące przybliżenie: , dla , gdzie n jest duże, u jest małe oraz Rozkład Poissona. , dla oraz Ta funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa na liczbach całkowitych nieujemnych. Nadzieja matematyczna (wartość oczekiwana zmiennej losowej, E(X)) - jest to wartość jakiej spodziewamy się jako wyniku doświadczenia losowego.
załóżmy, że X jest zmienną losową w , zbiór ΩX…
… - prawdopodobieństwo , gdzie . Twierdzenie Laplace'a (klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzeń): Jeżeli przestrzeń probabilistyczna jest klasyczna i A jest zdarzeniem tej przestrzeni, to P(A) jest ilorazem mocy zbioru A i mocy zbioru Ω. W losowaniu zapałkami każdy ma równe szanse, natomiast w losowaniu metodą marynarza szanse nie są równe. Zmienna losowa - jest to funkcja, która każdemu wynikowi doświadczenia…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)