2.Wytrzymałość materiałów
2.1 Ściskanie i rozciąganie prętów
y
x
dx
l
x
2.1.1
Obliczyć o ile wydłuży się pod własnym ciężarem pręt o długości l, jeżeli wykonany jest z
aluminium o gęstości ρ = 2,6 g/cm3 i module Younga E = 64 MPa.
2.1.2
Dla prętów pokazanych na rysunkach obliczyć wydłużenie całkowite. Dla przypadku C)
wyznaczyć również przemieszczenia punktów A i B. Moduł Younga dla wszystkich prętów
przyjąć równy E.
Dane: F, E, d ,a ,l
A)
B)
l
φ1,5d
φ2d
φ2d
φ1,5d
F
l
l
l/2
l
l/2
B
l
F
φ3a
A
φ2a
F
φ3a
C)
l
2F
2F
l
F
2.1.3
Obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym (przedstawiony na rysunku) oziębiono o
∆t°C. Obliczyć reakcje ścian oraz naprężenia w prętach, jeżeli liniowy współczynnik
rozszerzalności wynosi α, a moduł Younga jest równy E. Pręt dodatkowo obciążono siłą 7P
zaznaczoną na rysunku.
(Termiczne wydłużenie liniowe opisuje zależność ∆l=α∆tl)
l
R1=?
l
R2=?
φ2d
φd
7P
2.1.4
Obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym (przedstawiony na rysunku) obciążono
siłą Q a następnie ogrzano. Obliczyć o ile ogrzano ten pręt, rekcję R2 a także naprężenia w
prętach, jeżeli reakcja jednej ze ścian po ogrzaniu wynosi 2Q; liniowy współczynnik
l
R2=?
Q
φa
R1=2Q
φ1,5a
l
rozszerzalności jest równy α, Moduł Younga dla pręta przyjąć równy E.
2.1.5
Pręt o przekroju kołowym obciążony jest siłami P i 2P jak przedstawiono na rysunku.
Wyznaczyć reakcję ścian. Szerokość szczeliny wynosi δ a moduł Younga dla materiału z
którego wykonany jest pręt E.
L
L
2P
P
φd
φ2d
L
δ
2.1.6
Filar mostu w całości ma być zanurzony w wodzie. Jak musi się zmieniać przekrój
poprzeczny tego filaru wykonanego z betonu o gęstości ρ, aby naprężenia w dowolnym
przekroju były równe wytrzymałości betonu na ściskanie kc. Przyjąć że górna powierzchnia
filaru obciążona jest równomiernie naciskiem powierzchniowym q = kc a jej pole wynosi S0.
2.1 Zginanie belek
2.2.1
Dla belek przedstawionych na rysunkach sporządzić wykresy siły tnącej (T) oraz momentu
gnącego (Mg)
a)
2F
2a
3a
a
B
A
F
b)
F
M = 2Fa
B
A
2a
a
3a
c)
q
M = 0,5qa2
M = 0,5qa2
B
A
2a
a
a
2.2.2
W celu zbadania wpływu naprężeń na własności magnetyczne ciał stosuje się próbki w
kształcie pasków materiału o przekroju prostokątnym w układzie jak na rysunku. Jaką wartość
muszą mieć siły F aby zbadać próbkę w zakresie do granicy plastyczności (200MPa), jeżeli
próbki mają długość L = 9 cm, szerokość b = 1 cm i grubość h = 0,3 mm. W jakim obszarze
można przeprowadzać badania.
F
F
l/3
l/3
l/3
2.2.3
Jak długi pręt o masie całkowitej m (o przekroju kołowym) można wykonać z materiału o
gęstości ρ, aby pręt ten po ułożeniu go poziomo i podparciu jego końców nie uległ
zniszczeniu pod własnym ciężarem. Naprężenie maksymalne na zginanie materiału pręta
wynosi kg. Wskaźnik wytrzymałości przekroju porzecznego belki na zginanie dla belki o
przekroju kołowym wynosi W = πR3/4
2.2.4
Zaprojektuj belkę o przekroju prostokątnym, przy założeniu stałej jej grubości h = const, jako
belkę o równomiernej wytrzymałości na rozciąganie. Obliczenia wykonaj dla obciążenia
przedstawionego na rysunku.
F
B
h
A
l
l
RB=F/2
RA=F/2
2.2.5
Po belce o długości l podpartej na obu końcach może przemieszczać się człowiek o ciężarze
G. Wyznaczyć wymaganą grubość belki o przekroju kwadratowym aby człowiek nie
spowodował zniszczenia belki, jeżeli naprężenie dopuszczalne na zginanie wynosi kg
2.2.6
Wyznaczyć maksymalną wartość naprężeń rozciągających w belce suwnicy przedstawionej
na rysunku, jeżeli wskaźnik wytrzymałości przekroju porzecznego belki na zginanie wynosi
W.
Q
Q
B
A
x
RA
d
l
RB
Rozwiązania:
2.1.1.R
Rozpatrzmy wydłużenie elementu pręta o długości dx znajdującego się w odległości x od
dolnego końca pręta. Element ten jest rozciągany siłą równą co do wartości ciężarowi pręta
znajdującego się poniżej tego elementu.
F ( x ) = m( x )g = ρ S x g
Z prawa Hooke’a otrzymujemy:
ρ S xg
ρ xg
F (x )
F ( x ) ∆dx
=
dx ,
dx =
dx =
E ⇒ ∆dx =
E
SE
SE
S
dx
Aby wyznaczyć całkowite wydłużenie pręta musimy zsumować (scałkować) wydłużenia
wszystkich elementów dx.
l
l
∆l = ∫ ∆dx = ∫
0
0
ρ xg
E
dx =
ρg l
ρ gl 2
E
2E
∫ xdx =
0
Odpowiedź: całkowite wydłużenie pręta wyniesie: ∆l =
ρ gl 2
2E
≈ 0,2mm
2.1.2.R
A)
Reakcję ściany wyznaczamy z zależności:
R − F =0⇒ R = F
Korzystając z prawa Hooke’a otrzymujemy:
σ = εE ⇒
∆l =
F
∆l
=E
S
l
Fl
ES
Wydłużenie całkowite jest sumą wydłużeń obu prętów:
∆l = ∆l1 + ∆l 2 = −
∆l = −
Fl
Fl
9
−
, gdzie S1 = πd 2 , S 2 = πd 2
ES1 ES 2
16
25 Fl
(pręt jest ściskany)
9πd 2 E
B)
Reakcję ściany wyznaczamy z zależności: R + 2 F − F = 0 ⇒ R = − F
( F − 2 F )l
Fl
Fl
∆l = ∆l1 + ∆l 2 + ∆l 3 =
+
+
,
ES1 2 ES 2
ES 2
gdzie S1 = πd 2 , S 2 =
∆l =
9
πd 2
16
Fl
9πd 2 E
C)
27 Fl
9πa 2 E
8 Fl
∆x A = −
9πa 2 E
19 Fl
∆x B = −
9πa 2 E
∆l = −
2.1.3.R
Całkowite wydłużenie pręta składa się z wydłużenia (skrócenia) termicznego i wydłużenia
mechanicznego. Z uwagi na to, że pręt jest utwierdzony jest ono zerowe.
∆l = ∆l t + ∆l m = 0
Wydłużenie termiczne obliczamy z zależności:
∆l t = −2lα∆t - minus oznacza oziębianie, a czynnik 2 wynika z faktu że rozpatrujemy
wydłużenie obu fragmentów pręta jednocześnie.
Wydłużenie mechaniczne jest sumą wydłużeń obu fragmentów:
∆l m = ∆l1 + ∆l 2 =
− R1l (7 P − R1 )l − 4 R1l (7 P − R1 )l (7 P − 5 R1 )l
+
=
+
=
ES1
ES 2
Eπd 2
Eπd 2
Eπd 2
Z warunków zadania:
∆l = 0 ⇒ −2α∆tl +
(7 P − 5R1 )l
Eπd 2
=0
2α∆tEπd 2 = 7 P − 5 R1
R1 =
(
1
7 P − 2α∆tEπd 2
5
)
Drugą reakcję obliczamy z warunku równowagi sił:
R1 − 7 P − R 2 = 0 ⇒ R 2 = R1 − 7 P
R2 = −
(
1
28 P + 2α∆tEπd 2
5
)
Następnie obliczamy naprężenia w prętach:
(
)
σ1 =
− R1 − 4 7 P − 2α∆tEπd 2
8
28 P
=
= α∆tE −
- minus przed R1 oznacza ściskanie.
2
S1
5
5πd
5πd 2
σ2 =
− R2
28P + 2α∆tEπd 2
28P 2
=
=
+ α∆tE
2
S2
5πd
5πd 2 5
(
)
2.1.4.R
34Q
9αEπa 2
R2 = Q
∆t =
σ1 = −
32Q
9πa 2
σ2 =−
4Q
πa 2
2.1.5.R
Wskazówka: całkowite wydłużenie pręta wyniesie δ
Jeżeli przyjmiemy że obie reakcje skierowane są w lewo otrzymamy:
7
πd 2 Eδ
R1 = P +
3
6L
2
πd 2 Eδ
R2 = P −
3
6L
q=kc
y
2.1.6.R
Rozpatrzmy element filaru o wysokości dx. Na górną
powierzchnię tego elementu działa, zgodnie z warunkami
zadania siła:
Wypadkowa siła działająca na element dx musi być równa
zeru.
r
r
r
r
F ( x + dx ) + F ( x ) + Fw + Qdx = 0,
F ( x + dx ) = F ( x ) + Qdx − Fw ,
gdzie Fw oznacza siłę wyporu działającą na ten element natomiast Qdx jego ciężar.
F ( x + dx ) = q S (x ) + ρ g S ( x )dx − ρ w g S ( x )dx = q S (x ) + (ρ − ρ w )g S ( x )dx
Siłę działającą na dolna powierzchnię elementu możemy zapisać w postaci:
F (x + dx ) = qS (x + dx ) ≅ (S (x ) + dS )q = qS (x ) + q dS
Przyrównując stronami otrzymamy:
dx
x
x
F (x ) = q S (x ) ,
q dS = ( ρ − ρ w )g S ( x )dx,
( ρ − ρ w )g
dS
dx
=
S (x )
q
Po scałkowaniu otrzymamy:
ln (S ( x )) =
( ρ − ρ w )g
q
x+C
Stałą C wyznaczamy z warunku że dla x = 0 pole S(x) = S0, stąd C = ln(S0), czyli:
S ( x ) ( ρ − ρ w )g
x,
ln
S =
q
0
( ρ − ρ w )g
S ( x ) = S 0 exp
q
x
Odpowiedź: Pole przekroju filaru powinno rosnąć zgodnie z równaniem:
( ρ − ρ w )g
S ( x ) = S 0 exp
x
q
2.2.1.R
A)
Zadanie rozpoczynamy od wyznaczenia reakcji podporowych.
Z warunku równowagi momentów sił względem punktu A otrzymujemy:
∑ M A = 0 ⇒ F 2a − 2 F 3a + R B 6a = 0
− 4F + 6RB = 0
RB=
2
F
3
Z równowagi sił:
∑ Fy = 0 ⇒ R A + RB − F = 0
RA =
1
F
3
Następnie belkę dzielimy na trzy obszary i wyznaczamy w nich T i Mg
1. 0
(…)
… jak w przypadku a) i otrzymujemy:
RA =R B = 1 2 F
Podobnie jak poprzednio wyznaczamy T i Mg w trzech obszarach:
1. 0<x<a
1
T = RA = F
2
1
M g = R A x = Fx
2
2. a<x<3a
T = RA − F = −
1
F
2
M g = R A x − F (x − a ) =
1
1
Fx − Fx + Fa = − Fx + Fa
2
2
3. 3a<x<6a
T nie ulega zmianie na skutek działania pary sił o momencie M a więc :
T =1 2 F
1
1
1
M g = − Fx + Fa + M = − Fx + Fa + 2 Fa = − Fx + 3Fa
2
2
2
Odpowiednie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)