To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
7. Wyboczenie pręta
7. WYBOCZENIE PRĘTA
7.1. Mimośrodowe ściskanie pręta
y
P
EJz=const
A
ey x
B
l
Pręt ściskany momośrodowo (ey - mimośród)
y
P
P
ey
B
C
A
Mz
y
yB
N
x
Odkształcona oś pręta
B
C
x
T
Równowaga myślowo
odciętej części
(
M z = P e y + yB − y
(
d 2 y M z P ey + yB − y
=
=
=
ρ dx 2 EJ z
EJ z
1
Podstawiając k z =
P
otrzymujemy równanie
EJ z
)
)
d2y
2
+ k z2 y = k z (ez + y B ) .
2
dx
Rozwiązanie tego równania ró niczkowego ma postać
y = C1 sin k z x + C2 cos k z x + e y + y B .
Stałe C1 i C2 wyznaczany z warunków brzegowych:
y = 0 dy / dx = 0
dla x = 0
dla x = l
y = yB
(
C1 = 0
C2 = − e y + y B
otrzymując:
Ostatecznie równanie linii ugięcia przyjmuje postać
y=
1 − cos P
EJ z
P
cos
l
EJ z
ey
x
.
- 1/6 -
)
Przy
P
π
l→
EJ z
2
y→∞.
7. Wyboczenie pręta
Siłę P=Pkr, przy której
P
π
l=
EJ z
2 nazywamy siłą eulerowską lub siłą krytyczną.
Pkr =
Siła krytyczna
π 2 EJ z
(2l )2
Siła krytyczna - siła, przy której ściskany (bez mimośrodu) pręt mo e mieć
dwie postacie równowagi:
− pierwotną − o osi prostoliniowej,
− nową − o osi wygiętej.
Pręt obcią ony siłą krytyczną znajduje się w stanie równowagi obojętnej.
Zjawisko wyginania się pręta pod wpływem siły ściskającej nosi nazwę
utraty stateczności lub wyboczenia pręta.
Poniewa przy obcią eniu siłą krytyczną ugięcie y pręta wzrasta
nieograniczenie to siła krytyczna jest siłą niszczącą pręt.
7.2. Wyboczenie pręta w zakresie sprę ystym
równowaga
trwała
PPkr
7. Wyboczenie pręta
Pkr =
π 2 EJz
2
lw
wzór Eulera na siłę krytyczną
lw = nl
lw - długość wyboczeniowa
n - współczynnik zale ny od sposobu mocowania końców pręta
n=2
Naprę enia krytyczne:
n≈0.7
n=1
σ kr =
n=0.5
Pkr
A
A − pole powierzchni przekroju poprzecznego pręta.
Wzór Eulera wolno stosować, jeśli naprę enia krytyczne nie przekraczają granicy
proporcjonalności Rp (granicy stosowalności prawa Hooke'a)
σ kr ≤ R p
.
Jeśli σkr≤Rp to wyboczenie nazywamy sprę ystym (po odcią eniu pręt powraca do
swojej prostoliniowej postaci).
Jeśli σkrRp to wyboczenie nazywamy sprę ysto-plastycznym lub plastycznym (po
odcią eniu pręt nie powróci do swojej prostoliniowej postaci).
- 3/6 -
7. Wyboczenie pręta
Wprowadzając oznaczenia:
Jz
A
λ=
ramię bezwładności przekroju poprzecznego
lw
i
i=
smukłość pręta – parametr zale ny od geometrii pręta
i sposobu zamocowania końców,
otrzymujemy wzór na naprę enia krytyczne
w postaci hiperboli Eulera
E
Rp
λ gr = π
σ kr
π 2E
= 2
λ
Smukłość pręta, przy której naprę enia krytyczne osiągają wartość
granicy proporcjonalności nazywamy smukłością graniczną
Smukłość graniczna – parametr zale ny wyłącznie od materiału pręta
(dla stali λgr≈100)
Inna postać kryterium stosowalności wzoru Eulera na siłę krytyczną:
λ ≥ λgr (σkr≤Rp – wyboczenie sprę
yste) – wzór wolno stosować
λ Rp – wyboczenie sprę
ysto-plastyczne) – wzoru nie wolno stosować
400
materiał: stal konstrukcyjna
(0.15%C E=2.105MPa)
σkr
(…)
…
Dla stali konstrukcyjnej
naprę enia krytyczne w zakresie
smukłości (∼20, λgr) przybli yć
mo na prostą Tetmajera
krzywa doświadczalna
prosta Tetmajera
Re
σ kr = a − bλ
A
B
Rp
b=−
a = Re
Re − R p
λ gr
hiperbola Eulera
λ
∼20
λgr
Wzory, tabele, wykresy do obliczeń konstrukcji stalowych na wyboczenie
PN-90/B-03200
σ
durale,
mosiądze,
brązy
parabola Johnsona-Ostenfelda
Re
σ kr = a − bλ2
A
π 2E
b= 4
λ0
a = Re…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)