To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 9. Stateczność prętów. Wyboczenie sprężyste
1. Siła krytyczna dla pręta podpartego swobodnie
Dla pręta jak na rysunku 9.1 weźmiemy pod uwagę możliwość wygięcia się pręta z osi
podczas ściskania. E jest modułem Younga, J momentem bezwładności przekroju względem
osi z. Zapiszemy Moment względem punktu o współrzędnej x na ugiętej osi belki:
Rysunek 9.1. Postać ugięta pręta przy ściskaniu.
M ( x ) = Py( x ) ponieważ M ( x ) = − EJy ′′( x )
otrzymuje się równanie różniczkowe zwyczajne: EJy ′′( x ) + Py( x ) = 0 przedstawiane zwykle
w postaci:
P
y ′′( x ) + k 2 y( x ) = 0 gdzie k 2 =
(9.1)
EJ
z warunkami brzegowymi y(0)=0 oraz y(L)=0
Jego rozwiązaniem jest:
y( x ) = A sin kx + B cos kx
(9.2)
Podstawienie warunków brzegowych do równania (9.2) prowadzi do jednorodnego układu
równań na współczynniki A oraz B. A=0, B=0 jest rozwiązaniem trywialnym i odpowiada
postaci osiowej ściskania. Warunkiem istnienia rozwiązania nietrywialnego jest zerowanie się
wyznacznika macierzy przy niewiadomych:
1
1 A 0
0
0
sin kL cos kL B = 0 = det sin kL cos kL = 0 = sinkL=0 =
kL=nπ
Dla n=1 otrzymuje się najmniejszą siłę, przy której postać ugięta jest możliwa. Jest to siła
krytyczna Eulera:
π 2 EJ
(9.3)
Pkr = 2
L
1
2. Inne warunki brzegowe
Jak łatwo zauważyć, postać linii ugięcia dla wyboczenia pojedynczego pręta pod działaniem
siły pionowej skupionej na jego końcu będzie zawsze podobna do (9.2):
y( x ) = A sin kx + B cos kx + y szczegó ln e
Stałe A, B oraz ewentualne inne parametry rozwiązania szczególnego zależą od warunków
brzegowych. Można wykazać, że dla prostych przypadków zależność tę można sprowadzić do
zastąpienia długości pręta pewną zastępczą długością zwanej długością wyboczeniową Lw.
π 2 EJ
Pkr =
Lw=αL
(9.4)
Lw 2
Wartości parametru α dla częstych warunków podparcia:
Rysunek 9.2. Długości wyboczeniowe.
Uwaga: Jako ćwiczenie proszę sprawdzić wartość α dla któregokolwiek schematu!
3. Smukłość
Obliczmy naprężenie odpowiadające sile krytycznej:
σ kr =
Pkr
A
=
π 2 EJ
ALw
2
=
π 2E
A 2
L
J w
σ kr =
=
π 2E
Lw
2
J/A
=
π 2E π 2E
= 2
λ
Lw 2
Lw
r
=λ
r2
π 2E
λ2
(9.5)
W powyższym wzorze A jest polem przekroju zaś r jest promieniem bezwładności przekroju.
Smukłość λ jest liczbą charakteryzującą pręt. Zależy ona od właściwości przekroju, długości
wyboczeniowej pręta (więc od warunków podparcia) i od własności materiału pręta. Znając E
dla materiału pręta oraz dopuszczalne naprężenie możemy wyznaczyć jego (dopuszczalną)
właściwą smukłość. Dlatego można mówić o smukłości związanej z materiałem z jakiego
wykonany jest pręt.
E
λ dop = π
σ dop
2
4. Wyboczenie z uwzględnieniem mimośrodu siły ściskającej
Dla pręta obciążonego mimośrodowo (jak na rysunku)
Rys. 9.3 Wyboczenie przy ściskaniu mimośrodowym
otrzymuje się równanie różniczkowe zwyczajne:
P
EJ
z warunkami brzegowymi y(0)=e oraz y(L)=e
Jego rozwiązaniem jest:
y( x ) = A sin kx + B cos kx
Podstawienie warunków brzegowych do równania (9.2) prowadzi
(…)
… w pobliżu siły krytycznej
3
5. Metoda energetyczna
Z porównania energii wewnętrznej pręta zginanego A i pracy siły ściskającej na
przemieszczeniu końca pręta W (rysunek 9.4) wynika wzór energetyczny na obliczenie siły
krytycznej.
Rys. 9.4. Oznaczenia do wzoru na siłę krytyczną obliczoną metodą energetyczną.
1 L
1
1 L
1 L
A = ∫0 M ( x )
dx = ∫0 EJy ′′( x ) y ′′( x )dx = ∫0 EJ ( y ′′( x )) 2 dx
2
ρ( x )
2
2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)