Wyrównanie spostrzeżeń zawierających błędy grube

Wyrównanie spostrzeżeń zawierających błędy grube. Metody wykrywania
i eliminacji błędów grubych
Źródła błędów grubych:
Błędy grube w obserwacjach mogą wystąpić:
-
w trakcie pomiaru;
-
w trakcie rejestracji wyników;
-
przy wprowadzaniu danych do komputera.
W procesie wyrównania błędy grube mogą spowodować zniekształcenie wyrównywanych
współrzędnych lub wektorów przemieszczeń, co może prowadzić do fałszywej oceny bądź
interpretacji badanych zjawisk.
Konieczne jest opracowanie skutecznych sposobów wykrywania w pomiarach błędów
grubych, oraz wyposażenie w nie programów używanych do obliczeń geodezyjnych.
Diagnostyka błędów grubych winna uwzględniać:
-
liczbę błędów,
-
znaki błędów,
-
wielkości błędów,
-
rozmieszczenie błędów w sieci,
oraz
-
wielkość i kształt sieci,
-
rodzaj i rozmieszczenie obserwacji,
-
dokładność pomiaru elementów sieci,
-
rodzaj nawiązania sieci.
Zdarzają się sytuacje, kiedy wiele błędów grubych działa na siebie tak, że następuje
wzajemne wygaszanie wpływów.
Np. W trójkącie: błąd +5 stopni na jednym kącie i -5 stopni na drugim – suma kątów
pozostaje niezmieniona.
W pewnych sytuacjach błędy grube występujące w sieci mogą być absolutnie
niewykrywalne.
Większość metod wykrywania błędów grubych opiera się o metody statystyczne, gdzie
konieczne jest przyjmowanie określonego poziomu istotności testu ().
Różni autorzy sugerują różne wartości tego parametru. Przyjęta wartość () rzutuje na
skuteczność i ostateczny wynik testu.
Podejmując decyzję na podstawie metod statystycznych możemy wskazać wynik prawidłowy
lub popełnić jeden z dwóch rodzajów błędów.
Błąd I rodzaju – odrzucenie hipotezy H0, gdy jest ona prawdziwa.
Błąd II rodzaju – przyjęcie hipotezy H0, gdy jest ona fałszywa.
Wybrane metody wykrywania błędów grubych w obserwacjach, oparte na modelu
wyrównawczym o parametrach estymowanych według metody najmniejszych kwadratów:
1) Baardy (Baarda, 1968)
2) Pope’a (Pope 1976, Caspary 1988)
3) Chena-Kavourasa-Chrzanowskiego (1987)
4) Crossa-Price’a (Cross, Price 1985)
5) Dinga-Colemana (Ding, Coleman 1996)
6) Rzędów koegzystencji (Sitnik 2000)
7) Ethroga (Ethrog 1990)
8) Duńska (Krarup, Juhl, Kubik 1980)
Metoda duńska nie korzysta z metod statystycznych.
W metodach wykorzystujących testy statystyczne przyjmuje się, że obserwacje obciążone
błędami grubymi są zmiennymi losowymi o niecentralnym rozkładzie normalnym
Lodst ~ N (   ,  2 )
gdzie: Lodst
- obserwacja odstająca

- wartość oczekiwana zmiennej losowej

- parametr niecentralności rozkładu

- błąd średni obserwacji (odch. stand.)
METODA BAARDY
Przyjmuje się, że a’priori znana jest wartość odchylenia standardowego 0.
Po wyrównaniu oblicza się kwadrat błędu średniego spostrzeżeń s02.
Następnie oblicza się wartość testową T:
T
2
f s0

2
0
~ 2( f )
o rozkładzie 2 i f = n – u + d stopniach swobody (gdzie: n – liczba obserwacji, u – liczba
niewiadomych, d – defekt sieci).
Defekt sieci
Defekt sieci – występuje, gdy w zbiorze danych do wyrównania obserwacji w danej sieci,
brakuje pewnej liczby wielkości geometrycznych niezbędnych do wyznaczenia położenia jej
punktów w przyjętym układzie współrzędnych.
Defekt charakteryzujemy poprzez podanie liczby oraz rodzaju brakujących wielkości
geometrycznych. Rozróżniamy defekt zewnętrzny (lokalizacyjny) dz i wewnętrzny dw.
Całkowity defekt d = dz + dw.
Hipoteza zerowa testu zakłada, że w obserwacjach nie występują błędy grube:
2
2
H 0 : E (s0 )   0
Jeżeli dla przyjętego poziomu istotności  testowana statystyka przekracza wartość
krytyczną, czyli
2
T   ( f )
brak podstaw do przyjęcia hipotezy zerowej i należy ją odrzucić.
Hipoteza alternatywna:
H : „w układzie obserwacyjnym występuje jeden błąd gruby”
Następnie bada się poprawki
ˆ
vi
obliczone w trakcie wyrównania obliczając poprawki
standaryzowane ui :
ui 
ˆ
vi
 vˆ
i
- błąd średni i-tej poprawki
 vˆ   0
i
Q vˆ ii
Q v  P 1  A (AT PA) 1 AT
ˆ
Hipoteza zerowa dla testu poprawki standaryzowanej:
ˆ
H 0 : E (vi )  0
Statystyka testu ui ma rozkład normalny N(0, 1).
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 jeżeli:
ui  u 0 / 2
u 0 / 2
Jest wartością krytyczną testu z rozkładu N(0,1) wartości dystrybuanty 1 - 0/2
Jeżeli obserwacja jest podejrzana o błąd gruby usuwamy ją i ponawiamy wyrównanie i testy.
METODA POPE’A
Oblicza się wartość testową:
Ti 
s0
ˆ
vi
~( f )
Qvˆ ii
(f) można obliczyć z rozkładu t-Studenta:
( f ) 
f t( f 1)
f  1  t(2f 1)
Hipoteza zerowa:
ˆ
H 0 : E (vi )  0
Jeżeli
Ti    0 / 2 ( f )
nie ma podstaw do odrzucenia tej hipotezy.
 / 2 ( f )
0
Jest wartością krytyczną testu z rozkładu  dla wartości dystrybuanty 1 - 0/2
Jeżeli obserwacja jest podejrzana o błąd gruby usuwamy ją i ponawiamy wyrównanie i testy.
METODA CHENA-KAVOURASA-CHRZANOWSKIEGO
Szczegółowe omówienie tej metody iteracyjnej wykracza poza ramy tego wykładu. (Odsyłam
do literatury – slajd nr 2).
Wzór testu podobny jest do stosowanego w metodzie Pope’a, a także stosowany jest rozkład
τ.
~
i
~
s0
Q 
  1 / 2 ( f  k )
~
 ii
METODA CROSSA-PRICE’A
Metoda ta jest rozszerzeniem na więcej niż jeden błąd gruby przedstawionej wcześniej
metody Pope’a.
Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0.
Następnie oblicza się statystyki:
i 
ˆ
vi
svˆi
Nie zakłada się istnienia błędu grubego jeżeli:
 i    / 2 (n  u )
0
Jeżeli stwierdzono występowanie błędów grubych - pomiary dzieli się na grupy zawierające
błąd gruby.
Dla pomiarów podejrzanych o błąd gruby oblicza się współczynnik korelacji między macierzą
v a i-tą kolumną macierzy RP
ci 
ˆ
v T P{R P }i
ˆ
{R P }T P{R P }i v T Pv
i
n – liczba obserwacji
u – liczba niewiadomych
R P  I  A(A T PA) 1 AT P
Z każdej grupy wyłącza się pomiary o największej wartości:
 i  ci n  u
po czym powtarza się wyrównanie.
METODA DINGA-COLEMANA
Metoda ta jest bardzo podobna do omówionej wcześniej metody Crossa-Price’a.
Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0.
Następnie oblicza się statystyki:
i 
ˆ
vi
svˆi
Nie zakłada się istnienia błędu grubego jeżeli:
 i    / 2 (n  u )
0
Jeżeli i jest większe od wartości krytycznej oblicza się współczynniki korelacji między
spostrzeżeniami:
eij 
hij h ji
hii rii
hii
- i-ty element diagonalny macierzy HP
hij , hji - elementy pozadiagonalne macierzy HP
rii
- element diagonalny macierzy RP
H P  A(A T PA) 1 A T P
RP  I  HP
W oparciu o wartości eij dzieli się obserwacje na silnie powiązane podgrupy.
Z każdej podgrupy usuwa się jedną obserwację o największej wartości bezwzględnej 
Następnie ponownie przeprowadza się wyrównanie i testy.
Postępowanie powtarza się tak długo aż nie będą występowały obserwacje o wartościach 
przekraczających wartość krytyczną.
METODA RZĘDÓW KOEGZYSTENCJI
Rzędy koegzystencji wiążą się z rozmieszczeniem pomiarów w sieci.
Im bliżej siebie ulokowane są w sieci dwie obserwacje, tym niższy jest ich rząd koegzystencji i
tym silniejsze jest powiązanie tych wielkości po wyrównaniu.
Przeprowadza się wyrównanie wstępne otrzymując macierze V i Q, oraz błąd średni s0.
Następnie oblicza się statystyki:
ui 
Przeprowadza się test:
ˆ
vi
 vˆ
i
ui  u 0 / 2 ( f )
Jeżeli obliczona wartość:
ui  ukryt
Dzieli się obserwacje na grupy o niskich rzędach koegzystencji.
Z każdej grupy usuwa się po 1 obserwacji o maksymalnym |u|.
Przeprowadza się ponowne wyrównanie pozostałych obserwacji i powtarza się testy.
METODA ETHROGA
W metodzie tej po wyrównaniu wstępnym testuje się poprawki dla spostrzeżeń stosując
rozkład t-Studenta.
Tj 
ˆ
vkj
s0
 t / 2 (n  u  1)
Następnie wyłącza się z obliczeń spostrzeżenia podejrzane o zaburzenia błędami grubymi i
powtarza się obliczenia i testy.
METODA DUŃSKA
Metoda ta opiera się na założeniu, że duża poprawka obserwacyjna wskazuje na mniejszą
dokładność tej obserwacji z tytułu obciążenia jej wpływem błędu grubego.
Wyrównanie przebiega w trybie iteracyjnym. Po k-tej iteracji dla każdej obserwacji sprawdza
się, czy spełnione jest kryterium:
ˆ
vik
pi
s
k
0
c
Po zakończeniu procesu iteracji możliwe są dwie drogi postępowania:
1) Odrzucić wszystkie obserwacje podejrzane o błędy grube i przeprowadzić
wyrównanie z zastosowaniem wag apriorycznych.
2) Wyniki ostatniego kroku iteracyjnego przyjąć jako ostateczne.
Ten drugi sposób zbliża metodę duńską do estymacji mocnej.
... zobacz całą notatkę