Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi

Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi
Metoda najmniejszych kwadratów została omówiona w ramach rachunku wyrównawczego.
W niniejszym wykładzie przypomnimy najważniejsze zagadnienia z nią związane.
W praktyce najczęściej mamy do czynienia z sytuacją w której wyznaczamy drogą pomiaru
wielkości („Spostrzeżenia”) , za pomocą których obliczamy szukane parametry
(„Niewiadome”).
Dysponujemy nadliczbowymi spostrzeżeniami w stosunku do liczby niezbędnych do
wyznaczenia niewiadomych.
Umożliwia nam to :
-kontrolę spostrzeżeń;
-uzyskanie prawdopodobnych wartości niewiadomych;
-ocenę dokładności wyników pomiarów oraz niezawodności sieci.
Wszystkie metody pomiarów (taśmą stalową czy GPS) prowadzą do stosunkowo prostego
modelu matematycznego, związku między spostrzeżeniami i niewiadomymi, który może
zostać opracowany za pomocą metody najmniejszych kwadratów.
Ideę tej metody można zapisać wzorem:
(1)
gdzie: - poprawki spostrzeżeń;
- wagi spostrzeżen;
W zapisie macierzowym:
(2)
1
Model funkcyjny:
Zakładamy, że wykonane zostało n spostrzeżeń, na podstawie których chcemy
wyznaczyć u nieznanych wielkości.
Spostrzeżenia L1 , L2 , ..., Ln stanowią realizację wielkości przypadkowych.
Tworzą one wektor spostrzeżeń L.
Wektor spostrzeżeń jest przybliżeniem wartości prawdziwej
.
Wartość prawdziwa nie jest możliwa do ustalenia, ale z pomocą metody najmniejszych
kwadratów można uzyskać jej oszacowanie jako wektora spostrzeżeń wyrównanych :
Wektor parametrów X zawiera wartości niewiadomych X1, X2, ... ,Xu . Również wektor X jest
wektorem losowym i ma wartość prawdziwą . Metodą najmniejszych kwadratów oblicza się
jej oszacowanie, jako wektor wyrównany parametrów . Obliczamy go jako sumę wektora
wartości przybliżonych X0 oraz wektora poprawek niewiadomych x
Prawdziwe wartości spostrzeżeń i parametrów spełniają związek funkcyjny:
Wyrównane, prawdopodobne wartości parametrów i spostrzeżeń spełniają podobne
równanie zwane modelem funkcyjnym zadania wyrównawczego:
Wartości obserwowane spostrzeżeń i przybliżone wartości parametrów nie będą zwykle
spełniały tego równania.
Jeżeli do równania modelu funkcyjnego wstawimy wyniki spostrzeżeń i przybliżone wartości
niewiadomych - zamiast wektora zerowego - po prawej stronie otrzymamy wektor odchyłek:
2
Pochodne cząstkowe zapisujemy w macierzach Jacobiego:
A – pochodne względem niewiadomych;
B – pochodne względem spostrzeżeń;
Możemy stosując powyższe oznaczenia zapisać ogólne zadanie rachunku
wyrównawczego w następującej postaci:
Rozwiązanie ogólne:
Jest to zadanie polegające z punktu widzenia matematyki na znalezieniu wartości
ekstremalnej (minimum) z dodatkowymi warunkami.
Takie zadanie rozwiązuje się stosując mnożniki Lagrange’a (zwane też przez geodetów
korelatami). Wprowadzamy więc dodatkową macierz k.
3
Minimalizuje się funkcję Lagrange’a:
Po obliczeniu pochodnych względem v oraz x i przyrównaniu ich do zera otrzymujemy wzory:
oraz
W praktyce możemy mieć do czynienia z następującymi przypadkami:
1. W układzie równań r=n i w każdym równaniu występuje tylko jedno spostrzeżenie Li – jest
to wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących.
2. W zadaniu nie występują żadne niewiadome X. W r równaniach mamy tylko funkcje
wiążące spostrzeżenia – jest to wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych.
3. W n równaniach występuje po jednym spostrzeżeniu (jak przy wyrównaniu spostrzeżeń
pośredniczących) a w pozostałych (r-n) równaniach mamy tylko niewiadome. Jest to
wyrównanie spostrzeżeń pośredniczących z warunkami na niewiadome.
4
5
6
7
... zobacz całą notatkę