Wykład - Test J jako test niezależności

EKONOMETRIA
Prof. UE dr hab. Józef Biolik Wykład 6
Test J
Test J jako test niezależności Rozpatruje się ciąg {Zt} zmiennych losowych ciągłych, mających w rozkładach brzegowych tę samą nadzieję matematyczną. Dany jest ciąg obserwacji z1, z2, z3, …, zn na zmiennych Zt. Mogą one oznaczać reszty modelu. Należy zweryfikować hipotezę o braku autokorelacji rzędu τ.
Zbiór J Należy znaleźć wszystkie możliwe różnice, jakie można wyznaczyć na postawie obserwacji z1, z2, z3, …, zn i utworzyć zbiór złożony z wartości bezwzględnych owych różnic. Nazywa się go zbiorem J. Jego liczebność jest równa: .
Zbiór J porządkuje się na dwa sposoby.
Podzbiory różnic L1, L2, …, Ln-1 Najpierw dzieli się go na podzbiory, takie że: L1 - zbiór pierwszych różnic, o liczebności n-1
L2 - zbiór różnic drugiego rzędu, o liczebności n-2
L3 - zbiór różnic trzeciego rzędu, o liczebności n-3
…
Ln-1 - zbiór różnic rzędu n-1, o liczebności 1
Podzbiory J1, J2, …, Jr Następnie porządkuje się elementy zbioru J w ciąg rosnący i tak uporządkowane dzieli się na c podzbiorów J1, J2, …, Jc takich, że do J, należy pierwszych M=N/c najmniejszych wartości, …, do Jc należy M=N/c największych wartości bezwzględnych różnic. Definiuje się zmienne losowe:
M1 - oznacza ile elementów zbioru J należy do Lr i J1 M2 - oznacza ile elementów zbioru J należy do Lr i J2 …
Mc - oznacza ile elementów zbioru J należy do Lr i Jc Ich realizacjami są zaobserwowane liczby m1, m2, …, mc takich zdarzeń.
Prawdopodobieństwo otrzymania realizacji m1 zmiennej M1, wartości m2 zmiennej M2, …, mc zmiennej Mc podlega rozkładowi hipergeometrycznemu i dane jest wzorem:
Jeśli weryfikuje się hipotezę H0: ρ1=0 to analizuje się podzbiór L1 i znajduje się wartości m1, m2, …, mc zmiennych M1, M2, …, Mc.
Gdy H0 jest prawdziwa, to wartości mogą być zarówno duże jak i małe, każde ich uporządkowanie w czasie jest jednakowo prawdopodobne, a więc wszystkie elementy zbioru J mają jednakowe szanse trafienia do zbioru L1. Hipoteza alternatywna Sposób dalszego postępowania zależy od sformułowania hipotezy alternatywnej. Jeśli ona brzmi: H1: ρ10 i jest prawdziwa, to wartości reszt powinny być zbliżone do siebie, przynajmniej co do znaku, a więc vtt' powinny mieć małe wartości. Przeciw hipotezie zerowej, a na korzyść hipotezy alternatywnej, przemawia więc duża liczba zaobserwowanych w próbie małych wartości vtt' w zbiorze L

(…)

… z tym, dla zweryfikowania hipotezy zerowej należy zbadać, jakie są szanse na to, że do zbioru L1 (zbioru pierwszych różnic) trafi m1 albo więcej małych wartości vtt'. gdy c=2 gdy c=3 Lewostronny obszar krytyczny Jeśli wyliczone prawdopodobieństwo okaże się małe czyli mniejsze lub równe ustalonemu poziomowi istotności α, to zaobserwowaną m1 można uznać za dużą liczbę, przemawiającą na rzecz hipotezy alternatywnej…
... zobacz całą notatkę