Wykład - Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna prof. zw. dr hab. Janusz Wywiał
Wykład 3
W przypadku estymacji i wariancji w populacji można wykazać, że jeśli , to:
zatem statystyka daje nieobciążone oceny parametru .
jest granicznie nieobciążonym estymatorem wariancji.
Estymator powinien być:
nieobciążony
zgodny
efektywny
Względny średni błąd estymacji wyznacza wyrażenie:
,
które wskazuje jaki procent wartości szacowanego parametru stanowi pierwiastek z błędu średniokwadratowego estymacji.
Wyrażenie
definiuje względny, średni błąd szacunku estymatora .
Gdy estymator jest nieobciążony to . Za pomocą zdefiniowanego wskaźnika można określić dopuszczalny poziom niedokładności estymacji. Zwykle postuluje się, aby .
Gdy próba pochodzi z populacji, gdzie badana zmienna ma rozkład normalny to wariancja mierzonej próby wynosi :
, gdzie:
jest stałą rzędu , co oznacza, że wielkość maleje do zera tak jak ciąg .
Θ - parametr, który ma estymator Jeśli , to:
 czyli precyzyjniejsza jest średnia z próby.
.... jest odpornym estymatorem średniej populacji ..................................................................[?]
Mówimy, że estymator jest zgodny, jeśli zachodzi
 prawdopodobieństwo, że błąd estymacji nie przekroczy pewnego poziomu
W praktyce oznacza to, że opłaca się zwiększać liczebność próby bo rośnie wiarygodność estymacji mierzona prawdopodobieństwem nieprzekroczenia dopuszczalnego poziomu błędu estymacji.
Tw.: Statystyka jest zgodnym estymatorem parametru θ, jeżeli jest asymptotycznie nieobciążonym estymatorem parametru θ i .
czyli .
Efektywność
Def.: Estymator jest efektywny w klasie nieobciążonych estymatorów K parametru θ, jeżeli dla każdej wartości parametru i każdego estymatora z klasy K istnieje taki estymator , że:
Do oceny stopnia przewagi (w sensie precyzji estymacji) estymatora efektywnego nad innymi z klasy K wyznacza się współczynnik efektywności:
Mówi się, że statystyka jest asymptotycznie efektywnym estymatorem parametru θ jeżeli:
... zobacz całą notatkę