Statystyka matematyczna prof. dr hab. Grażyna Trzpiot, Wykład 3
ESTYMACJA
Niech X=(X1,...,Xn) będzie n-elementową próbą prostą wylosowaną z populacji o rozkładzie F(x;Θ). Niech Tn = g(x) będzie dowolną statystyką. Estymatorem nazwiemy taką statystykę, której rozkład zależy od szacowanego parametru:
Tn(X1,X2,...,Xn; Θ)
Ocena parametru Θ to wartość estymatora Tn dla próby statystycznej x1,...,xn Tn(x1,...,xn)=tn Błąd szacunku - zmienna losowa:
Tn(X1,X2,...,Xn; Θ)- Θ =...
Standardowy błąd szacunku:
Wynik estymacji:
tn ± D(Tn)
Własności estymatorów gwarantujące małe błędy szacunku:
- nieobciążoność
- efektywność
- zgodność
- dostateczność
Estymator nieobciążony jest najefektywniejszy, jeżeli wśród wszystkich estymatorów nieobciążonych tego parametru ma najmniejszą wariancję.
Odwrotność wariancji estymatora nazywa się jego precyzją.
Błąd średniokwadratowy estymatora
MSE(Tn) = D2(Tn) + [B(Tn)]2
MSE(Tn) = E(Tn - Ө)2 - błąd średniokwadratowy estymatora (ang. Mean Square Error)
jest miara estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się od rzeczywistej wartości estymatora.
Czym mniejszy MSE (pierwiastek z MSE) tym większa dokładność.
D2(Tn) = E(Tn - E(Tn))2 - wariancja estymatora ( - średni błąd szacunku estymatora)
D(Tn) jest miarą precyzji estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się od wartości oczekiwanej estymatora.
Czym mniejsza wariancja (średni błąd szacunku) tym większa precyzja.
B(Tn) = E(Tn) - Ө - obciążenie estymatora
Gdy obciążenie estymatora wynosi zero to estymator jest nieobciążony, czyli oszacowania nie są obciążone błędem systematycznym.
UWAGA!!!
Jeśli estymator Tn jest nieobciążony (czyli gdy E(Tn) = Y) wówczas MSE(tn) = D2(Tn) i przy interpretacji błędu szacunku D(tn) można skorzystać z interpretacji pierwiastka błędu średniokwadratowego .
Własności estymatorów
Estymator nazywa się nieobciążonym, jeśli E(Tn) = Ө (czyli B(Tn) = 0).
Estymator nazywa się asymptotycznie nieobciążonym, jeśli Estymator nazywa się zgodnym, jeśli przy każdej dowolnie małej wartości є.
Twierdzenie: Jeśli i estymator jest nieobciążony lub asymptotycznie nieobciążony to estymator jest zgodny.
Nieobciążony estymator Tn* nazywamy
(…)
… estymatora nazywa się jego precyzją.
Błąd średniokwadratowy estymatora
MSE(Tn) = D2(Tn) + [B(Tn)]2
MSE(Tn) = E(Tn - Ө)2 - błąd średniokwadratowy estymatora (ang. Mean Square Error)
jest miara estymacji i informuje, o ile przeciętnie wartości estymatora odchylają się od rzeczywistej wartości estymatora.
Czym mniejszy MSE (pierwiastek z MSE) tym większa dokładność.
D2(Tn) = E(Tn - E(Tn))2 - wariancja…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)