Wykład - równania ruchu płynu

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 497
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład - równania ruchu płynu - strona 1 Wykład - równania ruchu płynu - strona 2 Wykład - równania ruchu płynu - strona 3

Fragment notatki:

RÓWNANIA RUCHU PŁYNU
1. Równanie ruchu płynu doskonałego (równanie Eulera)
Rys. 1. Siły działające na element płynu
Wektor jednostkowej siły masowej q( X , Y , Z ) ma składowe X , Y , Z
a składowe siły masowej działającej na element płynu o gęstości ρ i
wymiarach dx, dy, dz wynoszą: ρXdxdydz, ρYdxdydz, ρZdxdydz.
Składowe sił powierzchniowych:
1 ∂p ⎞
1 ∂p ⎞
∂p


dx ⎟dydz = − dxdydz,
dx ⎟dydz − ⎜ p +
p−

2 ∂x ⎠
2 ∂x ⎠
∂x




1 ∂p ⎞
1 ∂p ⎞
∂p
⎜p−
dy ⎟dxdz − ⎜ p +
dy ⎟dxdz = − dxdydz,



2 ∂y ⎠
2 ∂y ⎟
∂y



1 ∂p ⎞
1 ∂p ⎞
∂p


p−
dz ⎟dxdy − ⎜ p +
dz ⎟dxdy = − dxdydz.

2 ∂z ⎠
2 ∂z ⎠
∂z


(1)
Składowe siły bezwładności − adm ,działającej na elementarną masę dm = ρdxdydx
wynoszą:
dν y
dν x
dν z

ρdxdydz,−
ρdxdydz,−
ρdxdydz.
dt
dt
dt
(2)
Zgodnie z zasadą d’Alamberta suma sił czynnych i sił bezwładności jest równa
zero, zatem:
dν x
∂p
Xρdxdydz − dxdydz −
ρdxdydz = 0,
∂x
dt
dν y
∂p
Yρdxdydz − dxdydz −
ρdxdydz = 0,
∂y
dt
∂p
dν z
Zρdxdydz − dxdydz −
ρdxdydz = 0.
∂z
dt
(3)
Po obustronnym podzieleniu przez ρdxdydz i przekształceniu
1 ∂p dν x
X−
=
,
ρ ∂x dt
1 ∂p dν y
Y−
=
,
dt
ρ ∂y
(4)
1 ∂p dν z
Z−
=
.
ρ ∂z
dt
W postaci wektorowej

q − grad p =
.
ρ
dt
1
(5)
dν x dν y dν z
,
,
Rozwijając pochodne substancjalne
na pochodne lokalne
dt dt dt
i pochodne wędrowne otrzymamy:
∂ν x
∂ν x
∂ν x
1 ∂p ∂ν x
X−
=
+ν x
+ν y
+ν z
,
∂x
∂y
ρ ∂x ∂t
∂z
∂ν y
∂ν y
∂ν y
1 ∂p ∂ν y
Y−
=
+ν x
+ν y
+ν z
,
ρ ∂y ∂t
∂z
∂x
∂y
∂ν z
∂ν z
∂ν z
1 ∂p ∂ν z
Z−
=
+ν x
+ν y
+ν z
.
∂t
∂x
∂y
ρ ∂z
∂z
(6)
1.1 Równanie Eulera w funkcji składowych wektora wiru
Równanie Gromeko
Do prawej strony równań (6) dodamy i odejmiemy następujące wyrażenia:
⎛ ∂ν y
∂ν z ⎞

⎜ ∂x ν y + ∂x ν z ⎟



⎛ ∂ν z
∂ν x ⎞

⎜ ∂y ν z + ∂y ν x ⎟



∂ν y ⎞
⎛ ∂ν x

⎜ ∂z ν x + ∂z ν y ⎟



(6a)
Po przekształceniu otrzymamy układ równań w postaci:
∂ν x
∂ν x
1 ∂p ∂ν x ∂ν x
X−
νx +
νy +
νz
+
=
ρ ∂x ∂t
∂z
∂y
∂x
⎛ ∂ν y
∂ν z ⎞
∂ν z ⎞ ⎛ ∂ν y
+⎜

⎜ ∂x ν y + ∂x ν z ⎟ − ⎜ ∂x ν y + ∂x ν z ⎟ =
⎟ ⎜


⎠ ⎝
∂ν y
∂ν x ⎛ ∂ν x
∂ν z ⎞
+⎜
=
⎜ ∂x ν x + ∂x ν y + ∂x ν z ⎟

∂t ⎝

⎛ ∂ν y ∂ν x ⎞
⎛ ∂ν x ∂ν z ⎞

+ν z ⎜
⎟ −ν y ⎜
⎜ ∂x − ∂y ⎟.

∂x ⎠
⎝ ∂z


Analogiczne otrzymamy składowe w kierunku y,z:
∂ν y
∂ν z ⎞
1 ∂p ∂ν y ⎛ ∂ν x
Y−
=
+⎜
⎜ ∂y ν x + ∂y ν y + ∂y ν z ⎟

ρ ∂y ∂t ⎝

⎛ ∂ν y ∂ν x ⎞
⎛ ∂ν z ∂ν y ⎞
+ν x ⎜
⎜ ∂x − ∂y ⎟ −ν z ⎜ ∂y − ∂z ⎟,







(6b)
∂ν y
1 ∂p ∂ν z ⎛ ∂ν x
∂ν z ⎞
Z−
=
+⎜
⎜ ∂z ν x + ∂z ν y + ∂z ν z ⎟

ρ ∂z
∂t ⎝

⎛ ∂ν z ∂ν y ⎞
⎛ ∂ν x ∂ν z ⎞
+ν y ⎜
⎜ ∂y − ∂z ⎟ −ν x ⎜ ∂z − ∂x ⎟.





Z definicji wektora wiru jego składowe mają postać:
∂ν y ∂ν x
∂ν x ∂ν z
∂ν z ∂ν y

Wx =

,Wy =

, Wz =
.
∂x
∂y
∂y
∂x
∂z
∂z
(6c)
Po podstawieniu (6c) do (6b) otrzymamy:
∂ν y
∂ν z ⎞
1 ∂p ∂ν x ⎛ ∂ν x
+⎜
=
X−
⎜ ∂x ν x + ∂x ν y + ∂x ν z ⎟ +ν zWy −ν yWz ,

ρ ∂x ∂t ⎝

∂ν y
∂ν z ⎞
1 ∂p ∂ν y ⎛ ∂ν x
=
+⎜
Y−
⎜ ∂y ν x + ∂y ν y + ∂y ν z ⎟ +ν xWz −ν zWx ,

∂t ⎝
ρ ∂y

∂ν y
∂ν z ⎞
1 ∂p ∂ν z ⎛ ∂ν x
=
+⎜
Z−
⎜ ∂z ν x + ∂z ν y + ∂z ν z ⎟ +ν yWx −ν xW y .

∂t ⎝
ρ ∂z

Wyrażenia w

(…)


y
z
(6j)
Scałkujmy to równanie przy założeniu, że prawa strona jest równa zeru,
czyli:

p ν2 ⎞
d⎜ −U − − ⎟ = 0

ρ 2⎟


(6k)
Dla płynu nieściśliwego ( ρ = const ) otrzymamy równanie
p ν2
U+ +
= C = const
ρ 2
(6l)
a dla ściśliwego
p ν2
U +∫ +
= C = const
ρ 2
Zwane CAŁKĄ BERNOULLIEGO.
(6m)
W polu sił ciężkości o potencjale U = gz
otrzymamy dla płynu nieściśliwego
p ν2
gz + +
= C = const
ρ 2
(6n…
…. Ten warunek
będzie spełniony gdy:
a) gdy Wx = W y = Wz = 0 czyli w ruchu potencjalnym, ponieważ wówczas
,
stała C będzie jednakowym w całym obszarze płynącego płynu.
dx dy dz
=
=
b) Jeżeli
jest równaniem linii prądu
Wx W y W z
czyli w ruchu wirowym, ale tylko wzdłuż jednej linii wirowej; dla różnych linii
wirowych stała C będzie różna.
c) jeśli
dx
νx
=
dy
νy
=
dz
νz
jest równaniem linii prądu…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz