Statystyka matematyczna prof. zw. dr hab. Janusz Wywiał
Wykład 4
Estymacja punktowa momentów i ich funkcji
gdy m - moment zwykły, to , a we wzorach na wariancję i kowariancję znika składnik .
Niech będzie funkcją rzeczywistą k momentów.
Załóżmy, że:
funkcja H jest ograniczona w następujący sposób:
, przy czym A jest stałą, a istnieją wszystkie pochodne cząstkowe funkcji H przynajmniej do drugiego rzędu włacznie. Wtedy oznaczając przez pochodną cząstkową funkcji , względnie argumentu w punkcie mamy:
Tw.: Utrzymajmy oznaczenia i założenia wprowadzone w powyższym twierdzeniu z możliwością niespełnienia założenia 1). Wtedy, jeżeli liczebność próby prostej to rozkład funkcji momentów zmierza do rozkładu normalnego z parametrami przy czym wariancję określa wzór: Współczynnik korelacji z próby określa wzór:
, gdzie: .
jest zgodnym estymatorem współczynnika korelacji zmiennej losowej (X,Y) który określa wzór:
Wariancję statystyki podaje np. Cranor [?]
W szczególności, gdy zmienna (X,Y) ma e............................... rozkład normalny, to
Podobnie jak klasycznym zagadnieniu estymacji punktowej, celem estymacji przedziałowej jest ocena nielosowego parametru zmiennej losowej X.
Na podstawie próby prostej wyznaczamy zależne od parametru dwie takie statystyki i , że oraz:
Dla zmiennej ciągłej powyższa słaba nierówność redukuje się do równości.
Prawdopodobieństwo jest nazywane poziomem ufności przedziału.
Przykład:
Wyznaczamy przedział ufności dla wartości przeciętnej rozkładu normalnego ze znaną wariancją . Średnią z n-elementowej próby prostej oznaczamy przez , natomiast jej standardową postać przez:
.
Wiadomo, że a rozkład statystyki nie zależy od parametru .
Ponadto wartości statystyki są monotonicznie malejącą funkcją wartości oczekiwanej przy ustalonej średniej z próby.
otrzymujemy
, gdzie: - częstość występowania przedziałów
które obejmują Θ.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)