To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 6. Analogia błonowa, analogia hydrodynamiczna, skręcanie
sprężysto - plastyczne.
6.1. Analogia błonowa
Analogia błonowa służy wizualizacji przebiegu funkcji naprężeń Prandtla dla dowolnego
konturu przekroju pręta skręcanego. Analogii tej można również użyć w celu
doświadczalnego wyznaczenia naprężeń stycznych w przekroju.
Analogię tę można sformułować w postaci następującego twierdzenia:
Wartości funkcji Prandtla w punktach przekroju o danym konturze są proporcjonalne do
odległości od tego przekroju powierzchni membrany napiętej na tym konturze i obciążonej
równomiernym ciśnieniem o kierunku prostopadłym do przekroju.
Aby wykazać, że tak jest, wyprowadzimy równanie membrany rozpiętej na konturze
przekroju i obciążonej równomiernym ciśnieniem p. Ciśnienie to jest skierowane zawsze
prostopadle do odkształconej powierzchni membrany.
Zalożymy, że w membranie panuje płaski stan naprężenia. W każdym punkcie membrany
naprężenie główne prostopadłe do jej powierzchni znika zaś pozostałe naprężenia główne są
identyczne mają wartość s i nie zależą od x1, x2. Zakładamy, że przemieszczenia punktów na
powierzchni membrany w(x1, x2) są małe na tyle, że cosγ ≈ 1, sinα ≈ tgα ≈ α. (Oznaczenia jak
na rysunku poniżej)
β
pdx1dx2
Sdx1
Sdx2
α
α+
w(x1,x2)
Sdx1
Sdx2
∂α
dx
∂x1 1
x2
∂β
dx
β+
∂x 2 2
x1
Rysunek 6.1 Wycinek membrany rozpiętej nad konturem przekroju. Zaznaczono wypadkowe
naprężeń w membranie i wypadkowa ciśnienia działającego na wycinek.
Równowaga wycinka membrany - suma rzutów sił działających na wycinek na oś x3 zapisuje się następująco:
1
∂β
∂α
dx1 − sdx1 sin β + sdx1 sin β +
dx 2 + pdx1dx 2 cosγ = 0
− sdx 2 sinα + sdx 2 sinα +
∂x 2
∂x1
∂β
∂α
− sdx 2α + sdx 2 α +
dx1 − sdx1 β + sdx1 β +
dx 2 + pdx1dx 2 ≅ 0
∂x 2
∂x1
∂β
∂α
∂w
∂w
sdx 2
dx1 + sdx1
dx 2 + pdx1dx 2 ≅ 0 ponieważ α =
oraz β =
:
∂x
∂x
∂x1
∂x 2
2
1
∂2w ∂2w
+ p ≅ 0
s 2 + s
∂x ∂x 2
1 2
∂2w
∂x1
2
+
∂2w
∂x 2
2
≅−
p
s
(1)
Widać, że równanie powierzchni membrany jest formalnie identyczne z równaniem jakie
musi spełniać funkcja Prandtla:
(2)
ϕ ,11 + ϕ ,22 = −2GΘ '
Wynika stąd, że funkcja Prandtla jest proporcjonalna do funkcji przemieszczenia membrany,
jako rozwiązanie tego samego równania rożniczkowego. Jeśli (1) i (2) przekształcić tak aby
były identyczne (niech prawa strona będzie równa 1) to otrzyma się ϕ wyrażone przez w:
2θ ′Gs
w = cw
ϕ=
p
Rysunek 6.2. Po lewej - kąty, których tangens jest proporcjonalny do modułu wartości
odpowiedniej skladowej naprężenia stycznego, po prawej - rysunek orientacyjny wektora
naprężenia stycznego do warstwic membrany.
2
Jeśli w eksperymencie uda się zmierzyć w(x1,x2) - ugięcie napiętej membrany, to otrzymamy
łatwo funkcję Prandtla bez konieczności rozwiązywania równania różniczkowego.
Łatwo można się przekonać, że:
− składowa naprężenia stycznego może być zilustrowana jako kąt nachylenia stycznej do
powierzchni
(…)
… hydrodynamiczna dla przekroju skręcanego cienkościennego zamkniętego:
Kierunek wektora naprężenia stycznego dla przekroju cienkościennego zamkniętego jest
styczny do linii prądu cieczy nielepkiej wirujacej w naczyniu cylindrycznym, którego
podstawą jest przekrój pręta zaś tworzące pręta są ściankami bocznymi naczynia.
Długość wektora naprężeń jest proporcjonalna do prędkości wirującej cieczy.
6.3. Skręcanie…
… ze wzrostem kąta odkształcenia postaciowego naprężenie rośnie do pewnej
wartości liniowo (prawo Hooke'a) później zaś pozostaje stałe. Taka idealizacja rzeczywistego
zachowania materialu nazywa się modelem sprężysto - idealnie plastycznym.
Założmy, że w przekroju skręcanym, w którym naprężenia rozłożone są niejednorodnie największe jego wartości osiągnęły już wartość graniczną. Wytworzył sie zatem obszar…
… plastyczny, który tym różni się od przegubu plastycznego, że występuje
w nim moment plastyczny Mpl, moment wypadkowy naprężeń plastycznych. Łatwo go
obliczyc jako podwójną objętość zamkniętą bryłą ostrosłupa.
Ms=2V
Jest tak, gdyż zgodnie ze znanym już wzorem (wykład 2) moment skręcający równy jest
podwójnej całce z funkcji Prandtla po przekroju.
4
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)