Wykład (4)

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 616
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład (4) - strona 1 Wykład (4) - strona 2 Wykład (4) - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 4.
Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju cienkościennym otwartym i
zamkniętym.
Pręt o przekroju cienkościennym otwartym
Dla przekroju pręta pokazanego na rysunku 1 przyjmijmy funkcje naprężeń Prandtla, która
tylko w przybliżeniu, spełnia warunek brzegowy.
x2
C
x2
B
c
x3
x1
b
h
h
Ms
x1
L
δ
d
D
Ms
a
Lh

A
Rys. 1. Przekrój i szkic pręta cienkościennego o przekroju prostokątnym. Rzeczywiste
proporcje prostokąta powinny być inne niż wyobrażone na rysunku. Aby przybliżona teoria
nie prowadziła do dużych błędów, figury na rysunku powinny być bardziej smukłe.
Załóżmy, że zamiast znikać na całym obwodzie ∂S, funkcja ta jest równa zeru tylko na
bokach AB i CD (równanie (2)). Można wobec tego przyjąć ją w formie równania (1)
powierzchni cylindrycznej nad S. Łatwo sobie wyobrazić, że taka powierzchnia jest, poza
obszarem BCbc DAda, prawidłową funkcją naprężeń.
ϕ = ϕ (x1 )
ϕ (x1 = −δ / 2) = ϕ (x1 = δ / 2 ) = 0
Niejednorodne równanie harmoniczne redukuje sie do postaci:
ϕ ,11 = −2GΘ '
(1)
(2)
(3)
Łatwo obliczyć stałe całkowania w paraboli spełniającej (3) aby spełnić warunek (2).
Otrzymuje się następujące wyrażenie na ϕ:
δ 2

ϕ = GΘ ′ − x12 
 4



(4)
1
Obliczymy naprężenia:
τ 23 = 2GΘ ′x1
τ 13 = 0
(5)
Moment skręcający wynosi:
(6)
δ 2

1
2
⇒ M = 2GΘ ′∫ 
− x1 dx1dx 2 = δ 3 hGΘ ′


3
s 4

M s = 2∫ ϕ dx1dx 2
s
Można teraz podać wzór na jednostkowy kąt skręcenia w typowej postaci, wyrażony przy
pomocy wskaźnika sztywności przekroju na skręcanie Js:
Θ′=
Ms
J sG
gdzie J s =
(7)
δ 3h
3
Podobnie naprężenia (5) można teraz wyrazić w funkcji momentu skręcającego. Do
obliczenia τmax użyjemy wskaźnika wytrzymałości na skręcanie Ws:
τ 23 = 2
τ 13 = 0
M
δ
τ max = τ 23  x1 =  = s


2  Ws

x2
C
Js
(8)
x1
Ws =
C
(9)
δ 2h
3
x2
B
c
Ms
x2
C
B
B
b
h
x1
x1
x1
δ
d
D
a
A
D
A
A
a).
b).
c).
Rys. 2. a). - przekrój cienkościenny prostokątny; b). wykres naprężeń według przedstawionej
powyżej teorii przybliżonej; c). warstwice naprężeń zgodnych z teorią skręcania prętów
niekołowych - owalne kontury (nie są to elipsy!), warstwice naprężeń przybliżonych - proste,
linia przerywana.
2
Złożony przekrój cienkościenny otwarty.
Rozpatrzmy pręt o przekroju, który da się rozłożyć na skończoną ilość N przekrojów
będących smukłymi prostokątami. Załóżmy, że ich linie środkowe nie tworzą żadnej łamanej
zamkniętej (Rysunek 3).
Zamierzamy wykorzystać wzory uzyskane dla pojedynczego przekroju prostokątnego o małej
szerokości. Kluczem do tego jest następujące założenie, opisujące wspólna prace myślowo
wyodrębnionych fragmentów przekroju:
− jednostkowy kąt obrotu i-tego Θi fragmentu jest wspólny dla wszystkich fragmentów
składowych i taki jak dla całości przekroju Θ'
− wypadkowy moment skręcający Ms jest sumą momentów wypadkowych Mi obliczonych
dla każdego wyodrębnionego, i-tego fragmentu.
Te dwa założenia sformułowane są przy pomocy wzorów (10):
N
(10)
M s = ∑Mi
∀i Θ ' i =Θ '
i =1
Dla każdego pręta ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz