To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w
fundamencie
Wyznaczyć wartość krytyczną siły P obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w
sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku. Słup jest utwierdzony w fundamencie.
Przyjmujemy, że działanie stropu w poziomie piętra można interpretować jako podparcie
nieprzesuwne, głowica słupa ma swobodę przemieszczeń. Porównać sposób rozwiązania i
wyniki otrzymane dla zadania opisanego w przykładzie nr1. Wysokości kondygnacji wynoszą
H1 i H2. Moduł bezwładności przekroju wynosi J zaś moduł Younga materiału słupa jest E.
Do obliczeń przyjąć H1=5L, H2=L. W ramach samodzielnego ćwiczenia wykonać obliczenia
dla przykładu nr 1, przyjmując takie same wartości H1 i H2. W płaszczyźnie prostopadłej do
rysunku słupy usztywnione są ścianą.
P
P
C
C
E, J
H2
E, J
H1
B
B
E, J
A
E, J
H2
H1
A
Rysunek 1. Schemat statyczny słupa utwierdzonego w fundamencie oraz przypomnienie
schematu słupa omówionego w przykładzie nr 9.1.
1. Równania równowagi dowolnego odkształconego fragmentu struktury
Wobec tego, że w słupie wyróżnia się dwa przedziały w których równania momentów
zginających są różnymi funkcjami x, należy rozpatrzyć dwa przypadki w zapisie warunków
równowagi odkształconego fragmentu struktury. Podział na przedziały pokazany jest na
rysunku 2.
Zauważmy, że układ współrzędnych dla części α (xα yα) ma początek w punkcie B (podpora)
zaś układ współrzędnych dla części β (xβ yβ) ma początek w punkcie A (podstawa słupa).
Zapis sumy momentów dla części α (górnej):
M ( x) + Pkr ( f − yα ( x))= 0 = M ( x) = Pkr ( yα ( x) − f )
′
ponieważ: M ( x) = − yα′ ( x) EJ
′
′
= yα′ ( x)EJ = Pkr ( f − yα ( x)) = yα′ ( x)EJ + Pkr yα ( x) = Pkr f
(1)
f
a)
f
Pkr
Pkr
C
c)
α
xα
yα(x)
N(x)
RB
β
T(x)
M(x)
yα
RB
M(x)
x
HA
Pkr
b)
1
MA
f
yβ(x)
H1-x
xβ
yβ
y
VA
Rysunek 2. a) postać przyjętej deformacji zgodnej z więzami, b) ilustracja zapisu równowagi
fragmentu α osi ugiętej słupa (jego górnej części); c) ilustracja zapisu równowagi fragmentu
β osi ugiętej słupa;
po uporządkowaniu otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu:
′
yα′ ( x) + k 2 yα ( x) = k 2 f
(2)
oznaczono tu:
P
k 2 = kr
(3)
EJ
Rozwiązaniem tego równania ma następującą postać (co łatwo sprawdzić przez podstawienie
(4) do (2)):
yα ( x) = A cos(kx)+ B sin(kx)+ yszcz (x)
(4)
ponieważ yszcz (x )= f wiec ostatecznie rozwiązaniem (2) jest:
yα ( x) = A cos(kx)+ B sin(kx)+ f
(5)
Do tego momentu obliczenia przebiegają tak jak w rozwiązaniu zadania 9.1. Jednak w
dalszym ciągu wystąpią różnice wynikające z faktu, że zadanie 9.2. jest jednokrotnie
statycznie niewyznaczalne. Reakcje nie dadzą się wyznaczyć z równań statyki, pozostają
obecne w równaniach linii ugięcia i wymagają dodatkowego warunku kinematycznego.
Suma momentów dla części β:
M ( x) + Pkr ( f − yβ ( x))− RB (H1 − x)= 0
(6)
= y′′ ( x)EJ + Pkr yβ ( x) = Pkr f − RB (H1 − x)
β
po uporządkowaniu otrzymujemy równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu
(…)
… jest możliwe tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy współczynników przy
niewiadomych zeruje się. Ponieważ wyznacznik ten zależy od k, można znaleźć taką siłę Pkr,
przy której wyznacznik ma swoje miejsce zerowe.
2. Zapisanie wyznacznika układu równań:
Wyznacznik układu trzech równań można w tym zadaniu policzyć ręcznie w sposób
klasyczny.
W=
kH1 sin(kH1 )sin(kH 2 )− 2 sin(kH 2 )+ 2 cos(kH1 )sin(kH 2 )+ cos(kH 2 )sin(kH1 )− kH1 cos(kH1 )cos(kH 2 )
sin(kH 2 )k 2 EJ
Warunek istnienia niezerowych rozwiązań układu równań (17) W=0 będzie spełniony, gdy
znajdziemy miejsce zerowe funkcji:
W = kH1(sin(kH1 )sin(kH 2 )− cos(kH1 )cos(kH 2 ))− 2 sin(kH 2 )+ 2 cos(kH1 )sin(kH 2 )+ cos(kH 2 )sin(kH1 )
(18)
Miejsce zerowe znajdziemy posługując się wykresem funkcji W(k). Wykres taki łatwo
otrzymać używając dowolnego arkusza kalkulacyjnego. Wobec tego mniejsze znaczenie ma
przekształcanie wyrażenia (18) tak, aby zmniejszyć liczbę składników sumy i uzyskać formy
iloczynowe funkcji trygonometrycznych kombinacji liniowych argumentów kH1 i kH2. W tym
opracowaniu użyto programu do wykonywania obliczeń symbolicznych Maple. W dalszych
obliczeniach skupiono uwagę na szczególnym przypadku gdy przyjąć H1=5L, H2=L.
Proporcje wysokości obu kondygnacji pokazane…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)