Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji 1/30 Pochodne funkcji w tym: wstępne wiadomości na temat całkowania Jak zwykle, pewne wymagania, niestety – tutaj będę typowym skurwysynem, prowadzącym nudny wykład, gdyż wymagań będzie sporo. Umieć liczyć proste granice i kartka z pochodnymi, ewentualnie pół litra na poprawę wyobraźni. Zaczynamy dosyć szybko od powtórzenia, czym jest ta pochodna (niestety, wybaczcie za cytowanie osoby, o której powinno się zapomnieć, mimo wszystko – w myśl zasady, że kłamstwo powtarzane sto razy staje się prawdą). Można to oczywiście, jeżeli ktoś miał nieprzyjemność czytać moje ostatnie wypociny – ominąć i przejść do połowy następnej strony. Przykłady – od połowy strony siódmej, więc te nudne teorie można sobie spokojnie ominąć. 1. Co to jest pochodna? Zadaliśmy sobie proste pytanie: „Jak bardzo rośnie, albo zmienia się wartość jakiejśtam funkcji z powodu zmiany iksów”? Narysowaliśmy prosty rysunek: Powiedzmy, że ta pozioma, leżąca na iksach kreska to zmiana, czy tam różnica iksów. Pionowa – to różnica w igrekach. Ukośna – to sieczna funkcji, a by być bardziej dokładnym (dlatego właśnie nie powinno się uczyć z tych ściąg) kawałek siecznej funkcji. Zauważmy, że im bardziej funkcja zapierdala w górę, tym większy będzie kąt nachylenia tej ukośnej kreski. A kąt nachylenia, właściwie tangens tego kąta, zgodnie z funkcjami trygonometrycznymi, będzie równy: tg α = pionowa czerwona kreska pozioma czerwona kreska Czyli: tg α = f x 1− f x 2 x 1− x 2 Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008 Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji 2/30 I jedna sprawa, o której nie wspomniałem w ściądze z granic funkcji. Często tego tangensa nazywa się ilorazem różnicowym . Nazwa, powiedzmy, logiczna – mamy iloraz (dzielenie) dwóch jakiś tam różnic. Dodatkowo - różnicę w iksach oznacza się literką h . Zadano sobie pytanie – co się będzie dziać z tym tangensem, czy też ilorazem różnicowym, gdy będziemy te iksy do siebie zbliżać. Użyję kontrowersyjnego stwierdzenia – zbliżać na nieskończenie bliską odległość? Możemy zapisać to jako po prostu kolejną granicę do rozwalenia: lim x x 0 f x − f x 0 x − x 0 Lub też można zapisać to inaczej: Wiemy, że różnicę w iksach - w zapisie ilorazu różnicowego oznaczamy przez h. h = x − x 0 Ponieważ wiemy, że to do siebie „zbliżamy”, więc różnica między nimi będzie coraz bliżej zera. x − x 0 0 Więc i
(…)
… (oczywiście, znajdujemy ją najszlachetniejszą
matematyczną metodą, czyli przez zgadywanie albo zaglądanie do tablic):
f (x) = 2
będzie na przykład funkcja:
F (x) = 2x
[bo f(x) jest pochodną F(x) ]
Albo funkcją pierwotną takiego batona:
f x =
1
x
będzie, powiedzmy, znany nam logarytm naturalny:
F x =ln x
Bo, znowu, funkcja f(x) jest pochodną F(x).
Jest jednak pewien problem.
Autor: vbx
WIMiI
Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji
26/30
Jaka jest pochodna funkcji stałej
f (x) = 5 ?
No, odpowiemy raczej od razu, że równa będzie zero.
f ' (x) = 0
Czyli funkcją pierwotną zwykłego Ziobra będzie... no właśnie.
Zauważmy, że pochodna z jakiejkolwiek funkcji stałej, nie wiem, równej 5, 10, 20, 1,
ćwiartka, pół litra – będzie równa zero. Cóż z tym fantem zrobić?
Sytuacji nie poprawiają…
…, kosmetycznie być może dałoby to się jeszcze poukładać, ale nie w tym rzecz.
Drugi przykład będzie trochę nietypowy... mianowicie – sprawdzimy, czy nie oszukują nas
1
tablice. Wiedząc, jak wygląda pochodna z mrocznego logarytmu naturalnego (
), sprawdzimy,
x
ile wynosi pochodna z loga x . Oczywiście, a to jakaś z dupy wzięta liczba. I pamiętajcie, że jak
przyjdzie wam do policzenia jakiejś pochodnej…
… naturalny zamiast bezpłciowego logarytmu z byle jaką podstawą, to już
można byłoby go rżnąć... znaczy się... eee... znamy wzór na zamianę podstawy logarytmu:
log a b=
Autor: vbx
log c b
log c a
WIMiI
Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji
11/30
I ja w tym przykładzie zamienię głupią podstawę, jakieś tam a na liczbę Eulera: e – która to
tworzy nam logarytm naturalny:
log a x ' =
log e…
… sobie i w podstawie, i w wykładniku, o
na przykład tak:
x
f x = x
I nie wiemy, co tutaj właściwie pierwsze się wykona. Pierwiastkowanie? Ale jak teraz
obliczyć pierwiastek iks stopnia w ładny i składny sposób? Może pochodna funkcji wykładniczej, a
może zwykłej potęgowej...
Zamiast tak bez sensu pieprzyć, skorzystajmy z takiej zależności, która wynika z własności,
brzydkie słowo, logarytmów:
cośtam
jakiejśtam
=e…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)