Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 1/32 Całki funkcji elementarnych jednej zmiennej całkowanie przez części i przez podstawienie Ten bryk będzie się nieco różnić od pozostałych. Tym razem skupimy się głównie na przykładach, gdyż o ile liczenie pochodnych było dosyć „schematyczne” i polegało głównie na zaglądaniu w tablice, to liczenie całek jest to głównie korzystanie z doświadczenia i obycia w nich . Wiem, że to przykro zabrzmi, ale kilkanaście przykładów trzeba zrobić, gdyż praktycznie każdy przykład wymaga osobnego potraktowania. Ponieważ będą tutaj obecne głównie przykłady (a byście nie byli zdziwieni – głównie zadania z książki jak zwykle bezcennego tandemu Gewert&Skoczylas „Analiza Matematyczna 1 Przykłady i Zadania”), raczej te łatwiejsze – bo trudniejszych sam nie umiem, a na łatwiejszych być może łatwiej jest załapać, pozwolę sobie zamieścić poniżej króciutki spis treści: 1. Przypomnienie o całkach - strona 1 2. Całkowanie przez części - strona 3 3. Całkowanie przez podstawienie - strona 12 W pierwotnej wersji tych rozdziałów było siedem, ale, przyznam się szczerze – nie wiem, jak wyrobię się z czasem, bo lubię być leniwy, mogę być pijany, skacowany albo kujonować, ile wlezie, a nie na wszystkie egzaminy mogę zdążyć. Dlatego, na razie – podstawowe metody przy całkowaniu. Przypomnijmy sobie najpierw, o czym tak naprawdę mówimy. 1. Przypomnienie o całkach Przy poprzedniej ściądze (z pochodnych) użyliśmy po raz pierwszy słowa „całka” przy tzw. funkcji pierwotnej, uznając, że jeżeli: F ' (x) = f (x) to wtedy ta funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x). Na przykład, funkcją pierwotną 1 x był logarytm naturalny: F (x) = ln x + C gdzie C jest dowolną stałą (bo, jak wiadomo, pochodna z samej liczby równa się gów... zero). Takie „znajdowanie” funkcji pierwotnej to całkowanie , zaś funkcję pierwotną można nazwać całką nieoznaczoną : ∫ f x dx = F x C Znaczek dx , nie wdając się w szczegóły, pokazuje nam, która zmienna rozpieprza cały Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008 Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 2/32 przykład i przyprawia nas o ból głowy. Nie powinno się zapominać o pisaniu dx , tak samo jak nie powinno się zapominać o lim przed granicami. O ile przy granicach – da się przeżyć, ewentualnie na końcu piszemy „dąży do”, to nie powinniśmy zapominać o tym dx – jak się później okaże, ten
(…)
…
Kurde, zgadza się, wyszedł nam tworek, którego da się wyliczyć, a więc:
1
∫ ln x dx =ln x∗x−∫ x ∗x dx
Dla porządku – policzmy tę całkę po prawej stronie:
∫ 1 ∗x dx
x
( dx można traktować podobnie jak „i” w liczbach zespolonych – nic to to w sumie nie robi, ale
możemy ją w przekształceniach traktować jako zwykłą zmienną – czyli w powyższym przypadku np.
wyrzucić do mianownika)
Jak od razu zauważyliśmy…
… swoje ego, używając terminów, których nie znam albo po raz pierwszy
widzę na oczy, wróćmy jednak do całek. Jeżeli gdzieś pod całką znajdzie się e i funkcja
trygonometryczna – to prawie na pewno trzeba będzie ją rozwiązać tak, jak pokazałem.
Autor: vbx
WIMiI
Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)
12/32
3. Całkowanie przez podstawienie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)