Wstęp do matematyki-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 112
Wyświetleń: 966
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wstęp do matematyki-opracowanie - strona 1 Wstęp do matematyki-opracowanie - strona 2 Wstęp do matematyki-opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 1
Wstęp do matematyki
1.1
Elementy logiki
Logika stanowi fundament matematyki. Podstawowe pojęcia logiki matematycznej
są niezbędne, aby zrozumieć wnioskowanie. Zacznijmy od definicji zdania.
Definicja 1.1.1. Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, któremu możemy przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: 1 (prawda) lub 0 (fałsz).
Uwaga 1.1.1. Powyższe oznacza, że logika za zdania uważa jedynie zdania oznajmujące w sensie języka polskiego. Zarówno zdaniom pytającym jak i wykrzyknikowym nie
jesteśmy w stanie przypisać wartości logicznej, a zatem w dalszych rozważaniach nie
bierzmy ich pod uwagę. W matematyce także formułujemy definicje, celem określenia
pewnych pojęć oraz twierdzenia, czyli zdania, które na bazie istniejących definicji są
prawdziwe i opisują pewne własności abstrakcyjnych tworów algebraicznych.
Zdania łączymy spójnikami logicznymi: ”i” będziemy oznaczać przez ∧, a ”lub”
przez ∨.
Definicja 1.1.2. Niech Z1 będzie zdaniem w sensie logicznym. Zdanie ¬Z1 nazywacją negacją zdania Z1 . Negacja zdania logicznego ma przeciwną wartość logiczną niż
ono, tj. jeżeli zdanie jest prawdziwe, to jego negacja jest fałszywa i na odwrót.
1
1.1. ELEMENTY LOGIKI
Definicja 1.1.3. Niech Z1 , Z2 będą zdaniami w sensie logicznym. Zdanie Z1 ∧ Z2
nazywamy koniunkcją zdań Z1 i Z2 . Zdanie Z1 ∨ Z2 nazywamy alternatywą zdań Z1
i Z2 . Koniunkcję uznajemy za prawdziwą, jeżeli oba zdania wchodzące w jej skład są
prawdziwe. Alternatywę uznajemy za prawdziwą, jeżeli przynajmniej jedno zdanie
wchodzące w jej skład jest prawdziwe.
Osobny fragment rozdziału poświęcimy implikacji. Jest ona podstawową formą
wnioskowania matematycznego.
Definicja 1.1.4. Niech Z1 , Z2 będą zdaniami w sensie logicznym. Zdanie Z1 =⇒ Z2
(”ze zdania Z1 wynika zdanie Z2 ”, ”jeżeli Z1 , to Z2 ”) nazwiemy implikacją. Implikacja jest nieprawdziwa tylko wtedy, gdy zdanie Z1 jest prawdziwe, a zdanie Z2 jest
fałszywe.
Uwaga 1.1.2. Zauważmy, że implikacja jest zdaniem w sensie logicznym będącym
podstawą w procesie wyciągania wniosków: jeżeli zachodzi okoliczność Z1 , to wynika
stąd, że zachodzić musi okoliczność Z2 . Nie należy tego rozumieć jako ”z fałszu wynika
wszystko”. Prawidłowym jest tutaj podejście: jeżeli okoliczność Z1 nie zachodzi, to
nic nie możemy powiedzieć, o tym, czy zachodzi, czy też nie okoliczność Z2 . Tak
samo, z faktu, że zachodzi Z2 nie możemy wnioskować o prawdziwości zdania Z1 . To
Z2 jest konsekwencją Z1 – nie na odwrót. Gdy zachodzi także zależność odwrotna,
mówimy wówczas o równoważności.
Definicja 1.1.5. Niech Z1 , Z2 będą zdaniami w sensie logicznym. Zdanie Z1 ⇐⇒ Z2
(”zdanie Z1 jest równoważne zdaniu Z2 ”) nazwiemy równoważnością. Równoważność
jest prawdziwa wtedy, gdy oba zdania wchodzące w jej skład maja taką samą wartość
logiczną – są równocześnie prawdziwe lub rownocześnie fałszywe.
Podsumowaniem powyższych definicji może być następująca tabelka
Tabela 1.1: Wartości logiczne zdań
p
q
p∧q
p∨q
2
p⇒q
p⇔q
1.1. ELEMENTY LOGIKI
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
Definicja 1.1.6. Dowolne wyrażenie zbudowane za pomocą zdań logicznych oraz
dowolnej ilości alternatyw, koniunkcji, implikacji bądź równoważności, nazywamy
wyrażeniem rachunku zdań.
Definicja 1.1.7. Tautologią nazywamy wyrażenie rachunku zdań, które jest zawsze
prawdziwe, bez względu na wartość logiczną zdań wchodzących w jego skład.
Za pomocą powyższych określeń, możemy udowodnić, że prawdziwe jest
Twierdzeni

(…)

… liczbowych. W rzeczywistości z reguły to właśnie
zbiór liczb naturalnych pomaga określić zbiór liczb całkowitych. Dla naszych
potrzeb powyższe definicje są jednak wystarczające. Czytelnika zainteresowanego wspomnianymi konstrukcjami odsyłamy do [7].
Uwaga 1.2.4. Czytelnikowi zwracamy uwagę na fakt, że zgodnie z powyższą
definicją 0 nie należy do zbioru liczb naturalnych.
3. zbiór liczb wymiernych (oznaczanym przez Q), czyli zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które można wyrazić w postaci
m
,
n
gdzie m ∈ Z, a n ∈ N.
4. zbiór liczb niewymiernych (oznaczany przez R \ Q, czyli zbiór tych wszystkich
liczb rzeczywistych, które nie są liczbami wymiernymi.
Uwaga 1.2.5. Wbrew intuicji, można pokazać, że liczb niewymiernych jest więcej (w sensie mnogościowym) niż liczb wymiernych.
5. przedziały liczbowe:
• [a, b…
…}, a B = {7, 8}, wówczas A ×
7
1.2. ALGEBRA ZBIORÓW, PRZESTRZEŃ EUKLIDESOWA
B = {(1, 7), (1, 8), (2, 7), (2, 8), (3, 7), (3, 8)}. W przypadku zbiorów nieskończonych
wypisanie wszystkich elementów nie jest już możliwe, tym niemniej można taki zbiór
opisać, bądź też (w przypadku iloczynów kartezjańskich dwóch podzbiorów zbioru
liczb rzeczywistych) narysować. Na przykład, iloczyn kartezjański dwóch…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz