Wielowymiarowe zmienne losowe

2.3.1.6. Wielowymiarowe zmienne losowe Układ n zmiennych losowych nazywamy n -wymiarową zmienną losową, bądź wektorem losowym.
Dystrybuantą n -wymiarowej zmiennej losowej nazywamy funkcję n -zmiennych rzeczywistych określoną wzorem
(2.3.44)
Jeżeli jest n -wymiarową zmienną losową skokową, to warunkiem koniecznym i wystarczającym niezależności zmiennej losowej jest spełnienie równości
(2.3.45)
Analogicznie do rozkładu zmiennej losowej dwuwymiarowej definiują się rozkłady brzegowe i rozkłady warunkowe dla wielowymiarowej zmiennej losowej.
Uogólnieniem wariancji na przypadek n -wymiarowy jest tzw. macierz kowariancji, albo macierz momentów centralnych rzędu drugiego, którą oznaczamy przez
(2.3.46)
Macierz współczynników kowariancji C jest symetryczna o wyznaczniku .
Dla n -wymiarowego rozkładu normalnego zmienna losowa ma gęstość określoną następującym wzorem
(2.3.47)
przy czym są elementami macierzy odwrotnej do macierzy kowariancji , określonymi wzorami
(2.3.48)
gdzie stanowią dopełnienia algebraiczne elementów macierzy C .
Można wykazać, że jeśli rozkład (2.3.47) odpowiada zmiennym losowym parami nieskorelowanym, tzn. dla , to zmienne są niezależne o łącznej gęstości
(2.3.49)
Zbiór punktów w przestrzeni o współrzędnych spełniających równanie
(2.3.50)
w którym współczynniki zdefiniowane wzorem (2.3.48) realizują warunek
(2.3.51)
nosi nazwę hiperpłaszczyzny regresji zmiennej względem pozostałych zmiennych.
Współczynniki stanowią elementy macierzy , czyli spełniają warunek
(2.3.52)
Na podstawie wzoru (2.3.47) można ustalić związek określający gęstość dwuwymiarowego rozkładu normalnego, czyli dla i oznaczeniu będzie:
(2.3.53)
Przyjmując oznaczenie (2.3.46) dla macierzy kowariancji
(2.3.54)
określimy współczynniki , czyli elementy macierzy odwrotnej . Zatem
(2.3.55)
skąd
(2.3.56)
Współczynniki przyjmują następujące wartości:
(2.3.57)
Stąd dla gęstość dwuwymiarowego rozkładu normalnego jest postaci
(2.3.58)
co potwierdza wzór (2.3.36).
Na podstawie powyższych rozważań widać, że dla każdej macierzy kowariancji zmiennych losowych i ustalonych wartościach przeciętnych tych zmiennych, można wyznaczyć funkcję gęstości prawdopodobieństwa wielowymiarowego rozkładu normalnego.
Przykłady liczbowe Zadanie 1. W obrębie zawierającym 200 działek gruntowych stwierdzono, że 10% działek ma niezgodne do rzeczywistości pola powierzchni. Wybrano losowo 4 działki z badanego obrębu.

(…)

… liczbowe Zadanie 1. Zarejestrowano ceny sprzedaży działek budowlanych dla różnych atrybutów dotyczących uzbrojenia terenu. Ceny te wyrażono dla w USD stanowią zmienną losową Y. Liczbę atrybutów działek budowlanych oznaczono w skali porządkowej według następującego kodu:
1 = działka posiadająca jeden atrybut uzbrojenia terenu
2 = działka posiadająca dwa atrybuty uzbrojenia terenu
3 = działka posiadająca trzy atrybuty uzbrojenia terenu.
4 = działka posiadająca cztery atrybuty uzbrojenia terenu
Wyróżniono następujące atrybuty uzbrojenia terenu:
E - energia elektryczna
W - wodociąg
D - droga utwardzona
K - kanalizacja.
Liczba atrybutów uzbrojenia terenu stanowi zmienną losową X.
Powyższe informacje zebrano dla 100 działek budowlanych otrzymując w ten sposób dwuwymiarową zmienną losową typu skokowego…
… A (nieprzekroczenia dopuszczalnego błędu granicznego pomiaru odległości), którego prawdopodobieństwo w każdej obserwacji wynosi . Obserwacje te są niezależne, więc zmienna losowa K - jako liczba sukcesów w 5 doświadczeniach Bernoulliego - ma rozkład dwumianowy o parametrach i . Zatem wartość prawdopodobieństwa dla określamy wzorem
Realizując wzór dla poszczególnych wartości k otrzymamy rozkład prawdopodobieństwa
k
0…
... zobacz całą notatkę