WYKŁAD 11
WIELOMIANOWE FUNKCJE SKLEJANE TRZECIEGO STOPNIA
Przedstawimy najpierw funkcję sklejaną Hermite’a S H ( x) (z defektem dwa), która charakteryzuje
się następującymi własnościami:
- w ka dym podprzedziale [ xi−1 , xi ] (i = 1, ..., n) jest wielomianem trzeciego stopnia,
=
2
i
+
+
i
i
1
i
1
i
i
i
1
i
i
1
1
i
i
i
1
Rys. 1
- jest klasy C ; co oznacza, e zarówno S ( x) , jak i jej pochodna S ′ ( x) są funkcjami ciągłymi,
- spełnia warunki interpolacji, czyli S H ( xi ) = yi ,
- przybiera we wszystkich węzłach interpolacji xi , i = 0, 1, ..., n, zadane wartości pierwszych pochodnych,
′
tzn. S H ( xi ) = yi′.
1
H
H
Niezbędne wartości pierwszych pochodnych yi′ we wszystkich węzłach i = 0, 1, ..., n , obliczymy
przyjmując, e są one równe odpowiednim pochodnym wielomianów drugiego stopnia, przechodzących
przez trzy kolejne punkty: Pi −1 , Pi , Pi +1 (rys. 1); wyra ają się one poprzez następujące ilorazy ró nicowe:
′
y0 = (1 + µ1 )
yi′ = λ i
y1 − y0
y − y1
− µ1 2
,
h1
h2
yi − yi −1
y − yi
+ µ i i+1
hi
hi +1
y ′ = −λ n−1
n
(i = 1, 2, ..., n − 1) ,
yn−1 − y n−2
y − yn −1
+ (1 + λ n−1 ) n
,
hn−1
hn
(1)
gdzie:
µi =
hi
,
hi + hi +1
hi = xi − xi−1 ,
λi = 1 − µi ,
hi +1 = xi +1 − xi .
(2)
Ilorazy ró nicowe (1) - (2) są drugiego rzędu dokładności, o czym łatwo mo na się przekonać
po podstawieniu do nich rozwinięć yi−1 i yi+1 w szeregi Taylora względem punktu xi (i = 1, 2, ..., n − 1).
Dla zadanych we wszystkich węzłach wartości
trzeciego stopnia jest w ka dym podprzedziale [ xi −1 ,
yi
xi ]
i y ′ wielomianowa funkcja sklejana Hermite’a
określona wzorem
i
S H ( x ) = y i −1 + ( x − xi −1 ) [ yi′−1 + t ( B + t A) ],
gdzie:
A = −2 ( y i − y i −1 ) hi + ( y i′−1 + y i′) ,
B = − A + ( yi − yi −1 ) h i − yi′−1 ,
t = ( x − xi −1 ) h i .
(3)
2
Wyprowadzenie równań wielomianowej funkcji sklejanej trzeciego stopnia, która nale y do C [ a, b]
(z defektem jeden) opiera się na zale ności
y ′′ = M i −1
S ′′( x ) = M i −1
xi − x
x − xi −1
+ Mi
,
hi
hi
xi − x
x − xi −1
+ Mi
hi
hi
(i = 1, 2, ..., n),
(4)
po wprowadzeniu oznaczenia
Mi = S ′′( xi ) (i = 0, 1, ..., n).
(5)
Całkując dwukrotnie obie części równania (4) uzyskujemy:
2
2
( x − x)
( x − xi −1 )
S ′( x ) = − M i −1 i
+ Mi
+ Ai ,
2 hi
2 hi
3
S ( x) = M i −1
gdzie Ai i Bi są stałymi.
(6)
3
( xi − x )
( x − xi −1 )
+ Mi
+ A i ( x − xi −1 ) + Bi ,
6 hi
6 hi
(7)
Stałe całkowania wyznaczamy z warunków interpolacji S ( xi ) = yi (i = 0, 1, ..., n):
Ai =
yi − yi −1 hi
− ( M i − M i −1 ) ,
6
hi
2
Bi = yi −1 − M i −1
hi
6
.
(8)
Pełne zdefiniowanie funkcji sklejanej wymaga jeszcze określenia wielkości
i (8) obliczamy granice jednostronne:
S ′( xi − 0) =
hi
S ′( xi + 0) = −
hi +1
6
3
M i −1 +
Mi −
hi
3
hi +1
6
Mi +
yi − yi −1
M i +1 +
hi
,
yi +1 − yi
.
hi +1
Mi .
W tym celu z równań (6)
(9)
Ciągłość S ( x ) i S ′′( x) wynika z równań (4.71) oraz z równań (4.74) ÷ (4.75).
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)