Systemy-opracowanie

Systemy
System liniowy:
- główna zaleta proporcjonalność
x(n)
y(n)
h(n)
Jeżeli
x 1 n  y 1 n  i
x 2  n y 2 n to:
a x 1 nb x 2 n a y 1 nb y 2 n
Przykłady systemów liniowych:
−1
x  n
2
y n=3 x n2 x n−5
y n=
Przykłady systemów nieliniowych
y n=2 x n  x  n−1
y n=3 x 2 n
System liniowy:
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;x=sin(2*pi*20*n);y=-.5*x;plot(n,x,n,y);
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x;
plot(n,2*x1-3*x2,n,y,n,2*y1-3*y2);
System nieliniowy:
N=500; Fs=1000; n=(0:N-1)/Fs;
x1=sin(2*pi*20*n);y1=.5*x1.*x1;
x2=sin(2*pi*10*n);y2=.5*x2.*x2;
x =2*x1-3*x2; y = .5*x.*x;
plot(n,2*x1-3*x2,n,y,n,2*y1-3*y2);
System inercyjny(bezwładnościowy) / nieinercyjny
Przykłady:
– bezinercyjny
y n=1.1x  n
N=20;n=(0:N-1);x=[zeros(1,N/2),ones(1,N/2)];yB=1.1*x;plot(n,x,'b*',n,y,'rx')
–
y n=0.5x n0.3x n−10.1x n−20.1x n−2
inercyjny
N=50;Fs=200;n=(0:N-1)./Fs;f=5;x=square(2*pi*f*n,.5);
yb=1.1*x;
yi=.5*x+.3*[0,x(1:end-1)]+.1*[0,0,x(1:end-2)]+.1*[0,0,0,x(1:end-3)];
plot(n,x,'r+',n,yb,'b*',n,yi,'go');
System niezmienny w czasie / zmienny w czasie / adaptacyjny
x(n)
y(n)
h(n)
Szereg Volterry (Volterra series) – modelowanie systemów nieliniowych
Najczęściej używany model systemu dyskretny liniowy inercyjny niezmienny w czasie
LTI – ang. Linear Time Invariant
Odpowiedź impulsowa
B=[1 .9 -1.2 3 2 .1 -1 -1.5 -.9]; A=1; % nieznany system
N=20;n=(1:N);x=zeros(1,N);x(1)=1;
% pobudzenie
y = filter(B,A,x);plot(n,x,'b*',n,y,'r');
Czy na podstawie obserwacji odpowiedzi systemu (kolor czerwony) jesteśmy w stanie wyznaczyć
nasz system - czyli h(n) ?
Transformata Z
Z {x  kT }=Z {x  n}= X  z  ,
gdzie
N
x n∈ℝ ,
X  z ∈ℂ
N
N −1
X  z = ∑ x n z−n
n=0
Transformata Z istnieje tylko dla funkcji które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza e n
czyli np. dla x  n=n ! lub x  n=e n transformata Z nie istnieje !!!
2
Region zbieżności ROC
{ ∣∑
∞
ROC = z :
n=−∞
warunek)
∣ }
x n z−n ∞
(zbiór punktów zespolonej płaszczyzny Z spełniający ten
Związek między transformatą Z a transformatą Fouriera
(omówić z =r e j  i przypadek kiedy r =1 ∣z∣=1 )
Własności transformaty Z
●
Liniowość
Z [a x 1 nb x 2 n ]=a X 1  z b X 2  z 
●
przesunięcie w czasie
Z {x  n−k }=z −k X  z 
Z {x  nk }=z
●
k
{ X  z−∑
k−1
n=0
x  n z
−k
}
odwrócenie czasu
Z {x −n}= X  z −1 
●
Transformata sumy
Z
●
{∑
M −1
n=0
}
x n  =
z
X z
z−1
Transformata różnicy
Z [ x n1− x  n]= z − 1 X  z − x 0
●
Transformata iloczynu
Z {x  n y  n}= X  z ∗Y  z 
●
Transformata splotu
Z {x  n∗y  n}= X  z Y  z 
Tabela potrzebnych transformat
x(n)
 n
Transfomata Z
Obszar zbieżności ROC
z ∈ℂ
1
 n−k 
z
u n
1
1−z −1
−k
z ≠0
∣z∣1
Splot
∞
y t= ∫ h  x t − d 
−∞
i konsekwentnie jeżeli mamy h n∈ℝM oraz
x  n∈ℝ N
M N −1
∑
y n=
h k  x n−k =h n∗x n
k =1
przykład 1
h ... zobacz całą notatkę