Warunki periodycznosci Borna-Karmana-opracowanie

Warunki periodyczności Borna-Karmana:
Aby opisać kryształ o skończonej liczbie N atomów, musimy atomowi o indeksie N + 1 przypisać numer 1.
Można sobie wyobrazić, że gdy mamy jednowymiarowy kryształ, zamykamy go w „kryształ cykliczny”:
Z kolei kryształ 2-wymiarowy: w torus
(nie sposób sobie wyobrazić analogicznej operacji na krysztale 3-wymiarowym, ale dokonujemy tego w
rachunkach)
Funkcja Blocha musi zatem spełniać warunek:
ei k x ( x+ N1a1 )u k ( x + N1a1 ) = e i k x x u k ( x)
,
ei k x N1a1 = 1 ,
n1 = 1, 2, 3, ..., N1
gdy
k x N1a1 = 2π n1 ,
(gdy rozpatrujemy jeden kierunek, np. x )
Wynika stąd, że wektor falowy musi być równy:
k nx =
2π n1
a1 N1
Analogicznie dla pozostałych kierunków:
k ny =
2π n2
a2 N 2
k nz =
2π n3
a3 N 3
Wszystkich atomów mamy N = N 1 ⋅ N 2 ⋅ N 3
2π
2π
2π
8π 3
⋅
⋅
= L1 ⋅ L2 ⋅ L3 =
, gdzie V - objętość kryształu
a1 N 1 a 2 N 2 a3 N 3
V
1
V
1
Gęstość stanów w przestrzeni kryształu: ρ (k ) =
= 3 → 3 , jeśli przyjmiemy jednostkową objętość
Vk 8π
8π
V
1
→
Gdy uwzględnimy spin, gęstość stanów wzrośnie dwukrotnie: ρ (k ) =
3
4π
4π 3
Objętość komórki elementarnej: Vk =
... zobacz całą notatkę