Model ciasnego wiązania-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 49
Wyświetleń: 861
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Model ciasnego wiązania-opracowanie - strona 1 Model ciasnego wiązania-opracowanie - strona 2

Fragment notatki:

Model ciasnego wiązania
Zakładamy, że dla konkretnego atomu znamy:
ˆ
H 0ψ 0 = E0ψ 0
Rozważmy jeden kierunek w sieci kryształu, w której atomy powtarzają się periodycznie o a
i ponumerujmy kolejne atomy:
ˆ
H 0ψ i = E0ψ i
Funkcje ψ i
2
będą miały ten sam kształt, ale będą przesunięte w fazie:
Weźmy się za równanie:
ˆ
Hψ = Eψ
ψi = ψ0
, gdzie
ˆ
H
2
jest hamiltonianem dla całego kryształu
Dla atomu poza kryształem:
h2 d 2 ˆ
ˆ
H0 = −
+ Vat ( x)
2m dx 2
W krysztale:
h2 d 2 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
H =−
+ Vkr ( x) = H 0 + Vp ( x)
2
2m dx
ˆ
gdzie Vp to tzw. potencjał perturbacji, wynikający z umieszczenia atomu w sieci krystalicznej:
ˆ
ˆ
ˆ
Vp ( x) = Vkr ( x) − Vat ( x)
Ponieważ funkcja ψ zostaje zmieniona przez potencjał perturbacji, nie jest już funkcją własną hamiltonianu.
Musimy ją rozpisać w szereg funkcji, które znamy:
N
ψ = ∑ ciψ i ,
i =1
gdzie N jest liczbą atomów w sieci kryształu
Jeśli uwzględnimy tylko oddziaływanie najbliższych sąsiadów:


ˆ
ψ Vp ψ i dx = ∫ψ i* Vp ψ i+1 dx = − W
∫ ˆ
*
i −1
−∞
−∞
gdzie W 0 - potencjał perturbacji obniża energię całkowitą (inaczej kryształ byłby niestabilny).
Wstawiamy ψ =
N
∑cψ
i
i =1
N
do
i
N
ˆ
H ∑ ciψ i = E ∑ ciψ i
i =1

−∞

*
- całkujemy obustronnie: / ∫ψ m dx
i =1
(
ˆ
ˆ
∫ψ H 0 + Vp
*
m
ˆ
Hψ = Eψ :
−∞
)∑ c ψ

N
i =1
i
i
N
dx = ∫ψ E ∑ ciψ i dx
*
m
−∞
i =1
Lewa strona jest równa:

(
ˆ
ˆ
∫ψ H 0 + Vp
*
m
−∞
)

∞ * ˆ

* ˆ
 ∫ψ m H 0 ψ i dx + ∫ψ m Vp ψ i dx  =
∑ ciψ i dx = ∑ ci 

i =1
i =1
−∞
 −∞

N
N
||
E0 ψ i
N

N

i =1
−∞
* ˆ
= ∑ ci E0 ∫ψ ψ i dx + ∑ ci ∫ψ m Vp ψ i dx = cm E0 − W (cm−1 + cm+1 )
i =1
*
m
−∞
||
||
δ mi
−W
Zgadujemy rozwiązanie w postaci fali:

uwzględniamy tylko najbliższych sąsiadów
c m = Ae i k s ma , gdzie
ma = x ( a to stała sieciowa)
Ae i k s ma E0 − W ( Ae i k s ( m −1) a + Ae i k s ( m +1) a ) = Ae i k s ma E
dzielimy obustronnie przez
Ae i k s ma :
E0 − W ( e − i k s a + e i k s a ) = E
I tym sposobem otrzymujemy zależność energii od wektora falowego:
E = E0 − 2W cos k s a
Wynik jest bardzo prosty, ale to tylko dzięki temu, że rozpatrywaliśmy wyłącznie jeden kierunek.
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz