To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Uzupełnienie I wykładu z Matematyki dla studentów studiów niestacjonarnych (materiał obowiązuje na pierwsze ćwiczenia z matematyki). Obliczanie wyznacznika metodą Laplace' a Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia większego niż 3 liczy się metodą rozwinięć Laplace'a (czytaj : Laplasa). (Uwaga: można też tą metodą liczyć wyznacznik macierzy stopnia 3 - zamiast metodą Sarrusa). Aby opisać metodę Laplace'a, trzeba zdefiniować pojęcie minora ( każdy element macierzy kwadratowej ma swój minor; dla macierzy stopnia n istnieje więc n x n minorów).
Definicja. Minorem macierzy kwadratowej A stopnia n , odpowiadającym elementowi tej macierzy, nazywamy wyznacznik macierzy B , która powstaje z macierzy A przez skreślenie jej i -tego wiersza i k -tej kolumny (macierz ta jest stopnia n-1 ).
Obliczmy minor M 12 następującej macierzy A Wykreślamy pierwszy wiersz i drugą kolumnę macierzy A i otrzymujemy następującą macierz B stopnia drugiego
Minor M 12 macierzy A równy jest wyznacznikowi macierzy B , inaczej M 12 =det(B)= 2-30 = -28. W podobny sposób można obliczyć minory odpowiadające pozostałym elementom macierzy A. Łatwo sprawdzić, że M 11 = 4 -(-15)=19 M 13 = -3-12=-15 M 21 = 4-3= 1 M 22 = 6- (-6)=12 M 23 = -9-12= -21
M 31 = 10-(-2)=12 M 32 = 15-(-1)=16 M 33 = 6-2=4
Aby opisać metodę Laplace'a obliczania wyznacznika macierzy A trzeba jeszcze zdefiniować pojęcie dopełnienia algebraicznego elementu tej macierzy.
Definicja. Dopełnieniem algebraicznym elementu macierzy A nazywamy liczbę W naszym przykładzie A 11 =(-1) 1+1 M 11 = (-1) 2 19= 19, A 32 =(-1) 3+2 M 32 = (- 1)16 =- 16
Definicja. Wyznacznikiem macierzy A stopnia n nazywamy sumę iloczynów elementów dowolnego wiersza (albo dowolnej kolumny) tej macierzy przez odpowiadające tym elementom dopełnienia algebraiczne.
Aby obliczyć wyznacznik metodą rozwinięć Laplace'a wybieramy najpierw wiersz (lub kolumnę), wg której będziemy rozwijać ten wyznacznik (najlepiej wybrać ten wiersz ( kolumnę), w którym jest najwięcej elementów zerowych). W naszym przykładzie macierz nie ma elementów zerowych więc jest wszystko jedno, który wiersz (kolumnę ) wybierzemy do rozwinięcia. Wybierzmy więc trzeci wiersz.
Jak widać, aby policzyć wyznacznik macierzy A trzeba mieć wcześniej policzone wartości dopełnień algebraicznych wszystkich elementów tej macierzy leżących w wybranym wierszu trzecim. W naszym przykładzie policzyliśmy na razie tylko A 32 (równa się
(…)
… do obliczania wyznacznika macierzy warto sprawdzić, czy nie jest równy zeru z racji spełniania własności 2, 4, 6; jeśli tak nie jest, można spróbować zwiększyć liczbę jego elementów zerowych korzystając kilkakrotnie z własności 7. Pamiętać też warto o wykorzystywaniu własności 5.
Macierz nieosobliwa i macierz odwrotna
Definicja. Macierz A której wyznacznik różny jest od zera tj. det (A) ≠ 0, nazywa się macierzą nieosobliwą. Definicja. Macierz odwrotna do nieosobliwej macierzy A - oznaczana symbolem - to taka macierz, która spełnia równanie oraz ( gdzie I - macierz jednostkowa).
Elementy macierzy odwrotnej do A wyznacza się następująco:
1. Dla każdego elementu i,k = 1,2,...,n macierzy A wyznacza się jego dopełnienie algebraiczne i ustawia się je w macierz n-tego stopnia (nazwijmy ją macierzą B).
2…
… jest stopień macierzy, tym więcej etapów ma metoda Laplace'a i więcej trzeba liczyć wyznaczników.
Własności wyznaczników
1. Wyznacznik macierzy A i wyznacznik macierzy transponowanej są sobie równe.
2.Wyznacznik macierzy, w której jedna kolumna (lub jeden wiersz) składa się z samych zer, równy jest zeru .
3. Wyznacznik zmieni znak, gdy przestawimy ze sobą dwa wiersze (lub dwie kolumny) macierzy.
4. Wyznacznik…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)