Układy równań różniczkowych - omówienie

Układy równań różniczkowych Niech F1 (t, x, y,), F2 (t, x, y) będą danymi funkcjami określonymi w zbiorze D przestrzeni 0txy. Rozwiązywać będziemy układ równań różniczkowych rzędu pierwszego (*) z niewiadomymi funkcjami x (t), y (t)
Def. Całkę szczególną układu (*) w przedziale (α, β) nazywamy każdą parę funkcji x (t), y (t), które spełniają ten układ dla każdego t z przedziału.
Def. Zagadnieniem Cauchy'ego dla układu (*) nazywamy zagadnienie polegające na znalezieniu całki szczególnej układu (*) spełniającego warunki początkowe
(**)x0 (t0) = x0, y0 (t0) = y0 przy czym t0 należy do przedziału, a x0, y0 zwane wartościami początkowymi są podane. Def. Całką ogólną układu nazywamy rodzinę krzywych x = x (t, C1, C2) , y = y (t, C1, C2) zależna od dwóch parametrów C1, C2, które możemy tak dobrać aby uzyskać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe (**)dla każdego układu wartości początkowych t0 z przedziału (α, β) x0, y0 dla których rozwiązanie takie istnieje. Tw. Jeżeli F1 (t, x, y,) i F2 (t, x, y) są funkcjami klasy C1 w obszarze D i P0 należy do D to w pewnym otoczeniu punktu P0 istnieje dokładnie jedna krzywa całkowa układu (*) spełniająca warunki początkowe.
I Metoda eliminacji:
Polega na sprowadzeniu układu (*) do znalezienia rozwiązania równania różniczkowego rzędu drugiego. Metodę tę będziemy stosować, gdy przynajmniej jedno z równań układu (**) można rozwiązać algebraicznie ze względu na niewiadomą funkcję, której pochodna w tym równaniu nie występuje.
Uogólnienie układu (*) (1) i = 1,2,...,n są funkcjami danymi określonymi w D z przestrzeni 0, t, x1, x2, ..., xn. Funkcjami niewiadomymi są funkcje xi = xi (t) i = 1,2,...,n
Def. Całką szczególną układu (1) nazywamy układ w funkcji xi (t) , które spełniają (1) dla każdego t z przedziału.
Def. Zagadnieniem Cauchy' ego dla układu (1) nazywamy zagadnienie polegające na znalezieniu rozwiązania szczególnego układu (1) II metoda całek pierwszych Niech x1 (t), x2 (t), ..., xn (t) będzie dowolnym rozwiązaniem układu (1) w przedziale
(α, β) gdzie Ω jest pewnym obszarem przestrzeni 0, x1, x2, ..., xn.
Def. Funkcja δ klasy C1 w obszarze Ω1 nie równą tożsamościowo stałej nazywamy całką pierwszą układu (1) wtedy i tylko wtedy, gdy Załóżmy, że mamy n niezależnych całek pierwszych układu (1) tzn. jakobian wówczas mamy na mocy (3) można rozwiązać ze względu na x1, x2, ..., xn i otrzymujemy całkę ogólną układu (1)
... zobacz całą notatkę