Układy równań liniowych - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 385
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Układy równań  liniowych - omówienie - strona 1 Układy równań  liniowych - omówienie - strona 2 Układy równań  liniowych - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

WYKŁAD 5
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - WSTĘP
Będziemy zajmować się metodami rozwiązywania układu n równań liniowych z n niewiadomymi
postaci:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,


a21 x1 + a21 x2 + ... + a2 n xn = b2 , 


................................................. 

an1 x1 + an 2 x2 + ... + an n xn = bn , 

w którym poszczególne symbole oznaczają:
ai j ( i , j = 1, 2, ..., n) - zadane współczynniki,
xi ( i = 1, 2, ..., n) - niewiadome,
bi ( i = 1, 2, ..., n) - zadane wartości prawych stron (wyrazy wolne).
Wprowadzając macierz współczynników układu
a11

a21
A=
 ...

a n 1

a12
...
a22
...
...
...
an 2
...
a1n 

a2 n 
,
... 

an n 

(35)
wektor kolumnowy prawych stron
b1 
 
b2 
B= 
... 
 
bn 
oraz wektor kolumnowy niewiadomych
 x1 
 
 x2 
X= 
... 
x 
 n
mo emy układ równań (1) zapisać w bardziej zwięzły sposób
A X = B.
(2)
Układ równań liniowych nazywa się układem niejednorodnym, jeśli wektor prawych stron B ≠ 0.
W przypadku natomiast B = 0 układ równań nazywa się układem jednorodnym. Rozwiązanie zarówno
układu niejednorodnego, jak i układu jednorodnego istnieje i jest jedyne, jeśli
det A ≠ 0.
(3)
Metody rozwiązywania układów równań dzielimy na dwie podstawowe grupy:
1) metody dokładne (bezpośrednie),
2) metody iteracyjne.
Metody dokładne pozwalają uzyskać rozwiązanie po skończonej liczbie działań. Są to takie metody,
które doprowadziłyby do otrzymania dokładnego rozwiązania układu, jeśli wszystkie działania byłyby
wykonywane bez zaokrągleń; metody dokładne nie są więc obarczone błędem metody.
Najczęściej wykorzystywanymi w obliczeniach numerycznych metodami dokładnymi są: metoda
eliminacji Gaussa i metoda Banachiewicza wraz z ich modyfikacjami.
Metody iteracyjne odznaczają się tym, e dostarczają ciągu rozwiązań przybli onych, zbie nych
do rozwiązania ścisłego układu równań (2). Cechą charakterystyczną tych metod jest odpowiedni
cykliczny algorytm, w którym na podstawie znajomości przybli enia poprzedniego (ni szego) obliczane
jest przybli enie następne (wy sze). Są one zbie ne do rozwiązania dokładnego tylko w granicy,
stąd błąd metody jest więc prawie zawsze małą częścią błędu obliczonego rozwiązania układu (2).
METODA ELIMINACJI GAUSSA
Układ równań (1) zapiszemy w postaci:
(0)
( 0)
( 0)
(0)
(0)
( 0)
( 0)
(0)
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = a1,n +1 ,
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = a 2,n +1 ,
........................................................
(0)
( 0)
( 0)
(0)
an1 x1 + an 2 x2 + ...L + an n xn = an ,n +1 ,









(4)
w której macierz układu A została oznaczona jako A ( 0) , a wyrazy wolne zostały umieszczone
w dodatkowej (n +1) - szej kolumnie macierzy A (0) .
Metoda eliminacji Gaussa polega na przekształceniu rozwiązywanego układu równań A X = B
(
do równowa nego układu o macierzy trójkątnej górnej. Zakładając, e a110) ≠ 0 i odejmując pierwsze
0
(0
równanie pomno one przez a (i1 ) a11 ) od pozostałych

(…)

… WYKŁAD 5
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - WSTĘP
Będziemy zajmować się metodami rozwiązywania układu n równań liniowych z n niewiadomymi
postaci:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,


a21 x1 + a21 x2 + ... + a2 n xn = b2 , 


................................................. 

an1 x1 + an 2 x2 + ... + an n xn = bn , 

w którym poszczególne symbole oznaczają:
ai j…
… niewiadomych
 x1 
 
 x2 
X= 
... 
x 
 n
mo emy układ równań (1) zapisać w bardziej zwięzły sposób
A X = B.
(2)
Układ równań liniowych nazywa się układem niejednorodnym, jeśli wektor prawych stron B ≠ 0.
W przypadku natomiast B = 0 układ równań nazywa się układem jednorodnym. Rozwiązanie zarówno
układu niejednorodnego, jak i układu jednorodnego istnieje i jest jedyne, jeśli
det A ≠ 0.
(3)
Metody…
macierz odwrotną.
Oznaczając elementy nieosobliwej macierzy kwadratowej A przez ai j , a elementy macierzy odwrotnej
A −1 przez xi j - z definicji macierzy odwrotnej (2.29) otrzymujemy następujące równanie macierzowe
a11

a21

 ...

a n 1

Mno ąc macierze A i
A −1
a12
...
a22
...
...
...
an 2
...
a1n   x11

a2 n   x21

...   ...

a n n   x n1

x12
...
x22
...
...
...
xn 2
...
x1n…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz