To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne
Definicja 1
Zmienna losowa X jest granicą ciągu zmiennych losowych
średniokwadratowej, jeŜeli:
X n n = 1,2,... w sensie zbieŜności
2
lim E( X − X n ) = 0
n →∞
Definicja 2
Zmienna losowa X jest granicą ciągu zmiennych losowych
według prawdopodobieństwa, jeŜeli dla dowolnego ε 0 :
X n n = 1,2,... w sensie zbieŜności
lim P{| X n − X |ε }= 0
n →∞
Nierówności Czebyszewa
Pierwsza nierówność Czebyszewa:
Definicja 3:
P( X ≥ 1) ≤ EX
Druga nierówność Czebyszewa:
Twierdzenie:
2
JeŜeli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i wariancję σ X , to dla kaŜdego t 0 :
∧ P(| X − m |≥ t ⋅ σ
t 0
X
)≤
1
t2
Nierówność ta mówi, Ŝe:
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, Ŝe zmienna losowa odchyli się od swojej wartości
oczekiwanej o więcej niŜ t jednostek, jest nie większe niŜ 1 / t 2 .
Jeśli podstawimy w tej nierówności t = 3 , to otrzymamy tzw. regułę „trzy sigma”:
1
P(| X − m |≥ 3σ ) ≤
9
Prawo wielkich liczb Markowa
Twierdzenie:
Dane są niezaleŜne zmienne losowe
X 1 , X 2 ,..., X n . KaŜda z tych zmiennych losowych
X k k = 1, 2,... ma wartość oczekiwaną EX k = µ k oraz wariancję V ( X k ) = σ k2 , przy czym zachodzi:
2
2
σ 12 + σ 2 + ... + σ n
=0
lim
n2
n →∞
Przy powyŜszych załoŜeniach, dla dowolnego ε 0 zachodzi:
X 1 + X 2 + ... + X n
lim P
n →∞
n
−
µ1 + µ 2 + ... + µ n
≥ε =0
n
W szczególnym przypadku, gdy wszystkie zmienne losowe mają jednakowe wartości oczekiwane µ :
X 1 + X 2 + ... + X n
lim P
n
n →∞
−µ ≥ε =0
Wzór ten pokazuje jaki jest związek między średnią arytmetyczną, a wartością oczekiwaną.
JeŜeli poszczególne zmienne losowe reprezentują np. wyniki pomiarów jakiejś wielkości, to z tego wzoru
wynika, Ŝe zwiększając liczbę pomiarów, ich średnia arytmetyczna dąŜy do wartości oczekiwanej.
Uzasadnia to poprawność przyjmowania w wielu przypadkach średniej arytmetycznej jako wielkości
przybliŜającej wartość oczekiwaną.
Twierdzenie graniczne Lindeberga – Levy’ego
Dane są niezaleŜne zmienne losowe
X 1 , X 2 ,..., X n o jednakowych rozkładach. Zmienne te mają
parametry: EX n = µ , V ( X n ) = σ 2 dla n = 1, 2, ...
Suma tych niezaleŜnych zmiennych losowych, to nowa zmienna losowa:
S n = X 1 + X 2 + ... + X n
Jej wartość oczekiwana wynosi:
ES n = E ( X 1 + X 2 + ... + X n ) = n ⋅ µ
V ( S n ) = V ( X 1 + X 2 + ... + X n ) = n ⋅ σ
zaś wariancja:
Utwórzmy nową zmienną losową Yn przez unormowanie zmiennej losowej S n :
2
S n − nµ
,
nσ
S n − nµ
lim P a
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)