Twierdzenia graniczne

Twierdzenia graniczne Rodzaje twierdzeń granicznych Twierdzenia graniczne integralne - są to twierdzenia graniczne, w których bada się zbieżność ciągu dystrybuant. Twierdzenia graniczne lokalne - są to twierdzenia graniczne w których bada się zbieżność ciągów funkcji prawdopodobieństwa lub zbieżność ciągów gęstości. Rozkład asymptotycznie normalny - zmienna losowa o parametrach: ; - dystrybuanta zmiennej losowej standaryzowana zmienna : - dystrybuanta zmiennej , -dystr. rozkładu N(0,1) Mówimy, że zmienna ma rozkład asymptotycznie normalny , jeśli ciąg ( ) jest zbieżny do , czyli dla każdego o zn. to, że dla dużych n , prawdopodobieństwa mogą być w przybliżeniu liczone za pomocą dystrybuanty rozkładu normalnego . Twierdzenia integralne w których dystrybuantą graniczną jest dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego nazywane są centralnymi twierdzeniami rachunku prawdopodobieństwa. 1. Centralne t wierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego Jeśli ( ) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie , mających parametry: oraz to ma rozkład asymptotycznie normalny . 2. Wniosek z centralnego twierdzenia granicznego Jeśli jest ciągiem niezależnyc h zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie , mających parametry: oraz ( ). To z centralnego tw. granicznego wynika, że ma w przybliżeniu rozkład normalny, a zatem ma również rozkład normalny oraz zm ienna przy dużych wartościach n ma rozkład zbliżony do rozkładu normalnego . 3. Twierdzenie integralne Moivre'a- Laplace'a Niech zmienna losowa ma rozkład dwumianowy i zmienna losowa X ma rozkład normalny o następujących parametrach: . Oznaczmy przez wartość dystrybuanty zmiennej losowej w punkcie x , a przez wartość dystr ybuanty zmiennej X w punkcie x . Między dystrybuantami z achodzi następujący związek: . ( W praktyce oznacza to, że ). Zatem rozkład zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p ma rozkład asympto tycznie normalny . 4. Wniosek z twierdzenia Moivre'a- Laplace'a Niech zmienna losowa ma rozkład dwumianowy oraz rozpatrzmy zmienną losową . Rozkład zmiennej loso wej jest następujący: i ma charakterystyki: . Zatem z tw. M-L wynika , że . Zad . 1. Zmienne losowe są niezależne o jednakowym rozkładzie określonym gęstością: Obliczymy prawdopodobieństwo P( ), gdzie . Zad . 2. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład Poissona z parametrem

(…)

… chłopców Zad. 10. Z magazynu w sposób losowy wybrano 100 pudełek proszku do prania. Waga każdego pudełka jest zmienna losową o wartości oczekiwanej równej 1 kg i odchyleniu standardowym 0,05 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
łączna waga wybranych pudełek jest zawarta między 99 kg i 101 kg?
średnia waga proszku w wybranych pudełkach jest zawarta między 1kg i 1,002 kg.
Zad. 11. Z magazynu wybieramy 100…
…, że średnia liczba wyrzuconych oczek będzie:
a) zawarta między 3 i 3,5;
b) większa niż 3,
c) nie przekroczy 2. Zad. 14. OBOP ocenia, że 30% rodzin polskich żyje w ubóstwie (poniżej minimum socjalnego). Wybrano losowo 100 rodzin polskich. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba rodzin żyjących w ubóstwie jest nie mniejsza od 40.
Zad. 15. Wadliwość produkcji wynosi 5%. Z bieżącej produkcji pobrano…
... zobacz całą notatkę