To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Transformata Fouriera
Przykłady do zadania 1.1:
Korzystając z definicji wyznaczyć transformatę Fouriera podanej funkcji f (t):
1 dla 0 t 1
0 dla pozostałych t
(a) f (t) =
Dla ω = 0 mamy
1
1
sin(ωt)
ˆ
f (ω) = cos(ωt)dt − i sin(ωt)dt =
ω
0
0
t=1
t=0
−i −
cos(ωt)
ω
t=1
t=0
=
sin ω
1 − cos ω
−i
ω
ω
1
ˆ
f (0) = dt = 1
0
1
e−iωt
ˆ
II sposób: f (ω) = e−iωt dt =
−iω
0
t=0
=
e−iω − 1
i(e−iω − 1)
sin ω
1 − cos ω
=
=
−i
−iω
ω
ω
ω
e−t dla t 0
0 dla t π
sin(ωt)
ˆ
funkcja jest parzysta, zatem f (ω) = 2 cos(ωt)dt = 2
ω
0
π
t=π
t=0
=
2 sin(ωπ)
dla ω = 0
ω
π
ˆ
f (0) = 2 dt = 2π
0
ˆ
II sposób: f (ω) =
π
−π
e−iωt dt =
e−iωt
−iω
t=π
t=−π
=
1
e−iωπ − eiωπ
2 sin(ωπ)
=
−iω
ω
(d) f (t) = e−|t|
funkcja parzysta, zatem
2e−T (− cos(ωT ) + ω sin(ωT ))
2
2
+
=
2
2
T →∞
1+ω
1+ω
1 + ω2
0
(wykorzystaliśmy obl.pom. z przykładu (b))
ˆ
f (ω) = 2
∞
e−t cos(ωt)dt = lim
sin t dla |t| π
0 dla |t| π
(e) f (t) =
π
π
0
0
ˆ
funkcja nieparzysta, zatem f (ω) = −2i sin t sin(ωt)dt = −i (cos((1 − ω)t) − cos((1 + ω)t)dt =
sin((1 − ω)π) sin((1 + ω)π)
−
dla |ω| = 1
1−ω
1+ω
ze wzoru 2 sin ax sin bx = cos(a − b)x − cos(a + b)x
= −i
π
ˆ
f (1) = −i (1 − cos(2t))dt = −iπ
0
π
ˆ
f (−1) = −i (cos(2t) − 1)dt = iπ
0
Przykłady do zadania 1.2:
Korzystając z własności transformaty Fouriera wyznaczyć g (ω) dla podanej funkcji g(t):
ˆ
3 + 2 sin t dla |t| π
0
dla |t| π
(a) g(t) =
Mamy g(t) = 3f1 (t) + 2f2 (t), gdzie f1 , f2 to funkcje odpowiednio z przykładów 1.1 (c) i (e).
ˆ
ˆ
Zatem g (ω) = 3f1 (ω) + 2f2 (ω) =
ˆ
2 sin(ωπ)
= 3
(b) g(t) =
2π
ω
−i
dla ω = 0 + 2
−iπ
dla ω = 0
iπ
sin((1 − ω)π) sin((1 + ω)π)
−
1−ω
1+ω
dla ω = 1
dla ω = −1
1 dla |t − 4| π
0 dla |t − 4| π
Mamy g(t) = f (t − 4), gdzie f to funkcja z przykładu 1.1 (c)
ˆ
Zatem g (ω) = f (ω)eiω(−4) =
ˆ
2 sin(ωπ)
ω
2πe−4iω
dla |ω| = 1
e−4iω dla ω = 0
dla ω = 0
(c) g(t) = e−5|t|
Mamy g(t) = f (5t), gdzie f to funkcja z przykładu 1.1 (d).
10
ˆ
Zatem g (ω) = 1 f ω =
ˆ
5
5
25 + ω 2
2
e−2(t+1) dla t −1
0 dla t
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)