Wykład - elementy rachunku operatorowego

Nasza ocena:

3
Pobrań: 42
Wyświetleń: 980
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Pobierz notatkę
Podgląd dokumentu
Wykład - elementy rachunku operatorowego - strona 1 Wykład - elementy rachunku operatorowego - strona 2 Wykład - elementy rachunku operatorowego - strona 3

Fragment notatki:

4. ELEMENTY RACHUNKU OPERATOROWEGO
4.1 PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A
Def. 4.1.1 (transformata Laplace’a)
Niech funkcja f będzie określona na przedziale [0,). Transformatę Laplace’a funkcji f oznaczamy symbolem F(s) lub L{f(t)} i
definiujemy wzorem
def 
F (s)  L{f(t)} 
 f (t )e
 st
dt ,
0
gdzie s jest zmienną rzeczywistą. Funkcję F(s) nazywamy także L-transformatą lub obrazem funkcji f(t).
Fakt 4.1.2 (transformaty ważniejszych funkcji)
Funkcja
1
Transformata
1
s
n!
tn
s n 1
1
s 
et
sin t

s 2
s
2
s 2
2
cos t
Fakt 4.1.3 (warunki wystarczające istnienia transformaty Laplace’a)
Niech
1. funkcja f : [0, )  R ma skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju na każdym przedziale [0,T], gdzie
T 0;
2.
   f (t )  Me Ct .
CR M 0 t 0
Wtedy transformata Laplace’a L{f(t)} istnieje dla s C.
Uwaga. Funkcję f spełniającą warunki 1. i 2. powyższego faktu będziemy nazywali oryginałem.
Fakt 4.1.4 (o liniowości przekształcenia Laplace’a)
Jeżeli istnieją transformaty Laplace’a funkcji f i g oraz c  R, to
1. istnieje transformata Laplace’a funkcji f + g oraz
L{f(t)+g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)};
2. istnieje transformata Laplace’a funkcji cf oraz
L{cf(t)} = cL{f(t)}.
Fakt 4.1.5 (o jednoznaczności transformaty Laplace’a)
Jeżeli funkcje ciągłe f , g : [0, )  R mają takie same transformaty Laplace’a: F(s) = G(s), to są równe na przedziale
[0,).
4.2 METODA OPERATOROWA ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Fakt 4.2.1 (transformata n-tej pochodnej)
Jeżeli funkcja f(t) oraz jej pochodne f’(t), f’’(t), ..., f(n-1)(t) są oryginałami, a ponadto funkcja ta ma na przedziale (0,) ciągłą ntą pochodną, to istnieje transformata L{f(t)} oraz
L{f(n)(t)} =
= snL{f(t)} – sn-1f(0+) – sn-2f’(0+) + ... – sf(n-2)(0+) – f(n-1)(0+) =
= snF(s) – sn-1f(0+) – sn-2f’(0+) + ... – sf(n-2)(0+) – f(n-1)(0+),


( n 1)
(0  )  lim f ( n1) (t ) .
gdzie F(s) = L{f(t)}, f (0 )  lim f (t ) , f ' (0 )  lim f ' (t ) , ..., f



t 0
t 0
t 0
Uwaga. Jeżeli funkcje f(t), f’(t), ..., f(n-1)(t) są ciągłe prawostronnie w punkcie t0 = 0, to f(0+) = f(0), f’(0+) = f’(0), ..., f(n-1)(0+) =
f(n-1)(0).
4.3 WŁASNOŚCI PRZEKSZTAŁCENIA LAPLACE’A
Fakt 4.3.1 (zmiana skali)
Jeżeli funkcja f(t) jest oryginałem, to dla dowolnej stałej  0
L{f(t)} =
s
F  ,
  
1
gdzie F(s) oznacza obraz funkcji f(t).
Fakt 4.3.2 (o różniczkowaniu obrazu)
Jeżeli funkcja f(t) jest oryginałem, to
L{tnf(t)} =(-1)nF(n)(s),
gdzie F(s) oznacza obraz funkcji f(t).
Fakt 4.3.3 (o przesunięciu argumentów obrazu)
Jeżeli funkcja f(t) jest oryginałem, to dla dowolnej stałej a  R
L{etf(t)} = F(s – a),
gdzie F(s) oznacza obraz funkcji f(t).
Fakt 4.3.4 (o przesunięciu argumentów oryginału)
Jeżeli funkcja f(t) jest oryginałem, to dla dowolnej stałej  0
L{1(t – )f(t – )} = e-sF(s),
gdzie F(s) oznacza obraz funkcji f(t).
Fakt 4.3.4 (o całkowaniu oryginału)
Jeżeli funkcja f(t) jest oryginałem, to
t
 F ( s)
L  f ( )d  
,
s
0

gdzie F(s) oznacza obraz funkcji ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz