To tylko jedna z 25 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 2 • Opis matematyczny ukladów liniowych • Pojęcie transmitancji operatorowej • Przekształcanie schematów blokowych Opis matematyczny układów liniowych Ciągły układ automatyki o jednym wejściu i jednym wyjściu a) równanie lub wykres charakterystyki statycznej, określającej zależność wyjścia od wejścia w stanach ustalonych b) równania różniczkowego lub operatorowego, opisującego własności statyczne i dynamiczne w otoczeniu wybranego punktu pracy ) 1 ( 0 1 1 1 0 1 1 1 x b dt x d b dt x d b y a dt y d a dt y d a m m m m m m n n n n n n + + + = + + + − − − − − − K K Przy przym: n≥m dla wszystkich elementów i układów rzeczywistych, x – wielkość wejściowa, y – wielkość wyjściowa, t – czas, a, b – współczynniki stałe. Charakterystyka statyczna (w stanie ustalonym wszystkie pochodne są równe zero) (2) 0 0 x a b y = Jak rozwiązać równanie (1)? • Metoda klasyczna – wprowadzenie równania charakterystycznego, obliczenie pierwiastków tego równania i wyznaczeniu stałych na podstawie warunków początkowych (metoda uciążliwa dla równań wyższego rzędu) • Metoda operatorowa – polegająca na znalezieniu przekształcenia pozwalającego zastąpić równania różniczkowo- całkowe zwykłymi równaniami algebraicznymi Transformacja Laplace’a (3) ) ( s f f(t) ⇔ Podstawowe właściwości rachunku operatorowego • Podstawę rachunku operatorowego stanowi przekształcenie (transformacja) Laplace’a, określająca związek między funkcjami czasu f(t) a odpowiadającym im funkcjami F(s) nowej zmiennej zespolonej s (rów.3). • Weźmy pod uwagę funkcję f(t) , która spełnia następujące warunki: 1) f(t) = 0 dla t
(…)
… )
L[
] = s n F (s)
dt n
4) Transformata całek funkcji
t
L[
∫
f ( t ) dt ] =
F (s)
s
0
Ogólnie
L[
∫∫ ∫
K
n
f (t ) dt ] =
F (s)
sn
5) Transformata funkcji okresowej
Dla funkcji okresowej f(t) = f (t +kT), gdzie: k = 1, 2, 3, ...
oraz
T
FT ( s ) = ∫ e − st f (t )dt
0
(transformata funkcji f(t) za jeden okres)
FT ( s)
L[ f (t )] =
1 − s − sT
Z powyższych wzorów wynika, że równania różniczkowo – całkowe…
… + 3)
Transmitancja operatorowa będzie ilorazem dwóch wielomianów zmiennej
zespolonej s:
Y ( s ) (bm s m + bm −1s m −1 + K + b0 )
G ( s) =
=
U ( s ) (an s n + an −1s n −1 + K + a0 )
Y (s)
( s + 3)
G (s) =
= 3
U ( s ) ( s + 3s 2 + 6 s + 4)
Transmitancja układu o wielu wejściach i wyjściach
U1(s)
U2(s)
Um(s)
Y1(s)
•
•
•
G(s)
•
•
•
Macierz transmitancji G(s)
⎡G11 ( s) G12 ( s ) K G1m ( s ) ⎤
⎢G ( s ) G…
… skończoną,
3) f(t) ma pochodną f ’(t) w każdym skończonym przedziale,
4) istnieje taka liczba rzeczywista c, dla której spełniona jest nierówność:
∞
∫
− ct
f (t ) e dt < ∞
(4)
0
(celem tego warunku jest zapewnienie istnienia takiego obszaru na płaszczyźnie
zmiennej zespolonej s, w którym całka: ∞
∫
jest bezwzględnie zbieżna.
0
f (t )e − st dt
• Wprowadzamy nową zmienną zespoloną s = c + jω.
• Transformatą…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)