To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przekształcenie Laplace’a
Przykłady do zadania 2.1:
Korzystając z definicji wyznaczyć transformatę Laplace’a podanej
funkcji f (t), t 0:
(a) f (t) ≡ 1
∞
Dla s 0 mamy
e−st
T →∞ −s
e−st dt = lim
0
t=T
t=0
1 − e−sT
1
=
T →∞
s
s
= lim
1
Zatem L(1)(s) = , s 0
s
(b) f (t) = et , f (t) = e−t
∞
Dla s 1 mamy
et e−st dt =
0
∞
e−(s−1)t
T →∞ −(s − 1)
e−(s−1)t dt = lim
0
t=T
t=0
1 − e−(s−1)T
1
=
T →∞
s−1
s−1
= lim
1
,s1
s−1
1
Podobnie L(e−t )(s) =
, s −1
s+1
Zatem L(et )(s) =
(c) f (t) = sin t, f (t) = cos t
Dla s 0 mamy
∞
e−st (− cos t − s sin t)
T →∞
1 + s2
e−st sin tdt = lim
0
t=T
t=0
e−sT (− cos T − s sin T ) + 1
1
=
2
T →∞
1+s
1 + s2
= lim
oraz
∞
e−st (−s cos t + sin t)
T →∞
1 + s2
e−st cos tdt = lim
0
t=T
t=0
e−sT (−s cos T + sin T ) + s
s
=
2
T →∞
1+s
1 + s2
= lim
Granice obliczamy korzystając z tego, że dla s 0 mamy e−sT → 0 przy T → ∞, a to, co w
nawiasie, jest ograniczone.
1
s
Zatem otrzymaliśmy: L(sin t)(s) =
, s 0, L(cos t)(s) =
,s0
2
1+s
1 + s2
Obl.pomocnicze:
f (t) = e−st
g (t) = sin t
e−st sin tdt =
f (t) = −se−st g(t) = − cos t
=
f = e−st
g = cos t
f = −se−st g = sin t
Zatem
oraz
= −e−st cos t − s e−st cos tdt =
= −e−st cos t − s (e−st sin t + s e−st sin tdt)
e−st (− cos t − s sin t)
+ C, C ∈ R
1 + s2
e−st (−s cos t + sin t)
e−st cos tdt =
+ C, C ∈ R
1 + s2
e−st sin tdt =
1
1 − t dla 0 t
0 dla t 1
(d) f (t) =
1
Dla s = 0 mamy
∞
−st
f (t)e
1
−st
dt = (1−t)e
0
dt =
0
1 1
e−st
= −
−
s s
s
t=1
t=0
Zatem L(f (t))(s) =
f (t) = 1 − t g (t) = e−st
−st
f (t) = −1 g(t) = − e s
e−st
= −(1−t)
s
1
−
t=0 s
1
t=1
1 e−s − 1
= +
s
s2
e−st dt =
0
s − 1 + e−s
,s=0
s2
Przykłady do zadania 2.2:
Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a wyznaczyć L(g(t))(s) dla podanej funkcji g(t),
t 0:
(a) g(t) = eαt , g(t) = e−αt , α 0
s
1
1
=
Mamy L(eαt )(s) = L(et )
α
α
α
Podobnie L(e−αt )(s) =
s
α
1
1
=
,sα
−1
s−α
1
, s −α
s+α
(b) g(t) = sh(αt), g(t) = ch(αt), α 0
1 αt
Mamy sh(αt) =
e − e−αt ,
2
1
1
1
α
1
zatem L(sh(αt))(s) =
L(eαt ) − L(e−αt ) (s) =
−
= 2
2
2 s−α s+α
s − α2
1 αt
e + e−αt ,
Podobnie ch(αt) =
2
1
1
1
1
s
L(eαt ) + L(e−αt ) (s) =
+
zatem L(ch(αt))(s) =
= 2
2
2 s−α s+α
s − α2
dla s α
(c) g(t) = sin(αt), g(t) = cos(αt)
1
α
s
Mamy L(sin(αt))(s) = L(sin t)
= 2
α
α
s + α2
1
s
s
oraz L(cos(αt))(s) = L(cos t)
= 2
,s0
α
α
s + α2
(d) g(t) = tn , n ∈ N
n
n
n d L(1)
Mamy L(t · 1)(s) = (−1)
ds
n
nd
(s) = (−1)
(e) g(t) = tn eαt , n ∈ N
Mamy L(tn eαt )(s) = L(tn )(s − α) =
1
n!
= n+1 , s 0
ds s
s
n!
,sα
(s − α)n+1
2
(f) g(t) = eαt sin(βt), g(t) = eαt cos(βt)
β
(s − α)2 + β 2
s−α
Podobnie L(eαt cos(βt))(s) = L(cos(βt))(s − α) =
(s − α)2 + β 2
Mamy L(eαt sin(βt))(s) = L(sin(βt))(s − α) =
(g) g(t) = χ(t − 2)sh(t − 2)
Mamy L(χ(t − 2)sh(t − 2))(s) = e−2s L(sht)(s) = e−2s
s2
1
−1
Przykłady do zadania 2.3:
Podać ciągłą funkcję f (t), jeśli jej transformata Laplace’a ma postać L(f (t))(s):
(a) L(f (t))(s) =
s2
s2
s+3
+ 6s + 10
s+3
s+3
=
= L(e−3t cos t)(s)
+
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)