Testy nieparametryczne. Test niezależności 

TESTY NIEPARAMETRYCZNE TEST NIEZALEŻNOŚCI , ( zmienne losowe X i Y są (w populacji generalnej) stochastycznie niezależne ) , (X,Y - są stochastycznie zależne ) gdzie: p ij , p i. , p .j - odpowiednio łączna funkcja prawdopodobieństwa zmiennej , brzegowe funkcj e prawdopodobieństwa zmiennej oraz zmiennej Y . Statystyka testowa: gdzie , ma asymptotyczny rozkład o ( r-1 ) ( s-1 ) stopniach swobody Zbiór krytyczny: . TEST ZGODNOŚCI Testy zgodności służą do weryfikacji hipotezy o tym, że rozkład prawdopodobieństwa badanej cechy jest rozkładem określonego typu. , (populacja generalna ma rozkład określony pewną dystrybuantą ) L osujemy z populacji dużą próbę, w której wyniki porządkujemy w rozkład empiryczny, przez utworzenie r rozłącznych klas wartoś ci bada nej zmiennej w próbie. P rzyjmując, że jest prawdziwa ( tzn., że rozkład populacji generalnej opisany jest dystrybuantą ) liczymy prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartości z i - tej klasy, Statystyka testowa: lub gdzie - liczebności teoretyczne, a - liczebności empiryczne Statystyka testowa ma asymptotyczny rozkład o stopniach swobody, gdzie k oznacza liczbę parametrów rozkładu, które zostały oszacowane na podstawie rozkładu empirycznego . Zbiór krytyczny: . TEST ZGODNOŚCI λ Kołmogorowa Założenia: 1. populacja generalna ma rozkład ciągły o dystrybuancie F ( x ); 2. z populacji wylosowano niezależnie do próby n (co najmniej kilkadziesiąt) elementów . H 0 : F ( x ) = F 0 ( x ), gdzie F 0 ( x ) jest konkretną, hipotetyczną i ciągłą dystrybuantą, Algorytm : wyniki próby należy uporządkować w kolejności rosnącej lub pogrupować w stosunkowo wąskie przedziały o prawych końcach x j i odpowiadających im liczebnościach n j , dla każdego x j wyznaczyć wartość dystrybuanty empirycznej F n ( x ): gdzie n sk - skumulowana od początku aż do x k liczebność: dla każdego x j wyznaczyć wartość teoretycznej dystrybuanty F ( x ), obliczyć dla każdego x j bezwzględną wartość różnicy F n ( x ) - F ( x ), obliczyć wartość statystyki: oraz wartość statystyki: (Przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej statystyka testowa ma rozkład λ Kołmogorowa. Jest on niezależny od postaci dystrybuanty teoretycznej, ale wymaga znajomości parametrów rozkładu.) z biór krytyczny: .

(…)

…
210 - 214
5
Na poziomie istotności = 0,05 zweryfikować testem hipotezę, że rozkład wytrzymałości na ściskanie badanego betonu jest normalny.
Zad. 7 W ciągu 100 dni notowano liczby awarii sieci wodno-kanalizacyjnej w określonym rejonie miasta i uzyskano następujące dane liczbowe:
Liczba awarii
0
1
2
3
4
5
Liczba dni
13
27
29
16
8
7
Zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby awarii jest rozkładem Poissona, przyjmując poziom istotności = 0,05.
Zad. 8 Badając jednostkowy koszt produkcji pewnego artykułu produkowanego przez różne zakłady, wylosowano niezależnie do próby n = 80 zakładów i otrzymano następujące wyniki (w zł):
Koszt jednostkowy
Liczba zakładów
20 - 40
10
40 - 60
16
60 - 80
24
80 -100
18
100 -120
12
Na poziomie istotności = 0,10 zweryfikować testem hipotezę, że rozkład jednostkowego…
… populacji
H0: F1(x) = F2(x), (obie populacje mają takie same rozkłady(dystrybuanty))
Algorytm:
wyniki obu prób pogrupować w stosunkowo wąskie przedziały o tych samych końcach xj,
dla każdego xj obliczyć wartości dystrybuant empirycznych z obu prób:
, obliczyć wartość statystyki:
oraz: , gdzie dla ustalonego poziomu istotności α odczytać wartość krytyczną λα z tablic wartości krytycznych λ Kołmogorowa
zbiór…
… krytyczny: .
TEST SERII
Dane są dwie próby o liczebnościach odpowiednio równych n1 i n2, pochodzące z populacji generalnych, co do których nie ma pewności, czy rozkład cechy X jest w nich identyczny. H0: F1(x)=F2(x) (próby pochodzą z populacji o jednakowym rozkładzie) H1: F1(x)ႹF2(x) (próby różnią się istotnie rozkładem) Algorytm:
wyniki obu prób porządkujemy w jeden ciąg według rosnących wartości…
... zobacz całą notatkę