Parametryczne testy istotności 1. Testy dla wartości średniej populacji Model 1. ZałoŜenia: Populacja generalna ma rozkład normalny ( ) [ ] σ , X E N , Znane jest odchylenie standardowe populacji generalnej, Z populacji wylosowano n elementową próbę. NaleŜy zweryfikować hipotezę: ( ) ( ) 0 0 : X E X E H = , gdzie E(X)0 jest hipotetyczną wartością średniej, wobec hipotezy alternatywnej: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 : : lub : X E X E H X E X E H X E X E H ≠ Test istotności jest w tym wypadku następujący: ( ) n X E X U σ 0 − = . Decyzję weryfikacyjną podejmuje się według zasad omówionych wyŜej. Model 2. ZałoŜenia: Populacja generalna ma rozkład normalny ( ) [ ] σ , X E N , Odchylenie standardowe populacji nie jest znane, Z populacji wylosowano małą próbę. Hipotezy formułuje się tak jak w modelu 1. Test istotności jest następujący: ( ) 1 0 − − = n S X E X t lub ( ) n S X E X t ˆ 0 − = Decyzja weryfikacyjna – jak wyŜej. Model 3. ZałoŜenia: Populacja generalna ma rozkład normalny ( ) [ ] σ , X E N lub dowolny inny, o średniej E ( X ) i skończonej wariancji, Wariancja σ2 nie jest znana, Z populacji generalnej wylosowano duŜą (rzędu kilku dziesiątków) próbę. Hipotezy formułuje się jak wyŜej. Test istotności jest następujący: ( ) n S X E X U 0 − = . Decyzja weryfikacyjna – według zasad jak wyŜej. 2. Testy dla dwóch średnich Model 1. ZałoŜenia: Badamy dwie populacje generalne o rozkładach normalnych ( ) [ ] ( ) [ ] 2 2 1 1 , , , σ σ X E N X E N , Odchylenia standardowe tych populacji są znane, Wylosowano niezaleŜnie dwie próby o liczebnościach: n 1, n 2. NaleŜy zweryfikować hipotezę: ( ) ( ) 2 1 0 : X E X E H = wobec ( ) ( ) 2 1 1 : X E X E H lub ( ) ( ) 2 1 1 : X E X E H
(…)
… prawdziwości hipotezy zerowej, omawiany test
ma rozkład F Snedecora z n1 – 1 i n2 – 1 stopniami swobody.
Konstrukcja przedziału ufności oraz
weryfikacyjnej przebiega następująco:
podjęcie
decyzji
Dla ustalonego poziomu istotności α oraz n1 – 1 i n2 – 1stopni
swobody z tablicy rozkładu F odczytuje się wartość krytyczną
Fα , n1, −1n2 −1 , w taki sposób aby spełniona była równość:
{
}
P F ≥ Fα , n1 −1, n2 −1 = α…
…:
Populacja generalna ma dowolny rozkład o dystrybuancie
naleŜącej do pewnego zbioru Ω rozkładów o określonym typie
postaci funkcyjnej dystrybuanty.
Z populacji wylosowano niezaleŜnie duŜą próbę (n – co
najmniej kilkadziesiąt).
Wyniki próby losowej podzielono na r rozłącznych klas o
r
liczebnościach ni w kaŜdej klasie, przy czym
∑ ni = n (W ten
i =1
sposób określony zostaje rozkład empiryczny).
Weryfikacji podlega następująca hipoteza zerowa:
H 0 : F (x )∈ Ω ,
gdzie F(x) jest dystrybuantą rozkładu populacji.
Test istotności jest w tym wypadku następujący:
r
χ =∑
2
ˆ
(ni − ni )2 ,
ˆ
ni
ˆ
gdzie: ni – liczebności teoretyczne wyznaczone przy załoŜeniu
ˆ
prawdziwości hipotezy zerowej, ni = npi , przy czym pi oznacza
prawdopodobieństwo znalezienia się wartości zmiennej w i -tej
klasie.
i =1
Podejmując decyzję…
… się według następujących
zasad:
Jeśli H ≥ Hα , k , s , to H0 naleŜy odrzucić
Jeśli H < Hα , k , s , to nie ma podstaw do odrzucenia H0
Uwaga,
W sytuacji, gdy próby nie są jednakowo liczne, poleca się
stosowanie testu Bartletta.
6. Test dla wskaźnika struktury
Model (tylko dla duŜej próby)
ZałoŜenia:
Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p
(frakcja elementów wyróŜnionych w populacji),
Z populacji…
… odczytuje się w taki sposób, aby zachodziła
2
równość: P χ 2 ≥ χα , s = α .
{
}
• Test zgodności λ Kołmogorowa
Model
ZałoŜenia:
Populacja generalna ma rozkład ciągły o dystrybuancie F(x).
Z populacji wylosowano duŜą próbę (n – rzędu kilku
dziesiątków).
NaleŜy zweryfikować hipotezę postaci: H 0 : F ( x ) = F0 ( x ) , gdzie
F0(x) jest hipotetyczną dystrybuantą.
Test istotności jest następujący:
λ = D n…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)