Termodynamika statystyczna

TERMODYNAMIKA STATYSTYCZNA Przestrzeń fazowa to wielowymiarowa przestrzeń euklidesowa uogólnionych pędów i współrzędnych, której osiami są q 1 ...q F , p 1 ...p F . Punkt fazowy w przestrzeni  obrazuje cząstkę, a w przestrzeni  obrazuje układ.
Położenie punktu fazowego układu w przestrzeni fazowej zmienia się w czasie. Punkt porusza się zakreślając pewną ciągłą krzywą - trajektorię fazową (krzywa ta przechodzi przez punkt odpowiadający stanowi początkowemu układu i spełnia równanie ruchu) Trajektoria fazowa układu konserwatywnego leży na hiperpowierzchni zdefiniowanej przez równanie H(p,q) = E = const (jest to tzw. hiperpowierzchnia stałej energii lub powierzchnia energetyczna w przestrzeni fazowej). Powierzchnia ta jest (2F1) wymiarowa. Trajektoria fazowa nie może się przecinać sama ze sobą i z innymi, odpowiadającymi warunkom początkowym, trajektoriami fazowymi układu.
Liczba niezależnych parametrów określających położenie układu mechanicznego w przestrzeni (konfigurację układu) nazywa się liczbą stopni swobody układu. Na położenie i prędkość punktów układu mogą być nałożone ograniczenia (więzy).
F = 3n  d F - ilość stopni swobody;
d - więzy;
n - ilość atomów w cząstce
Statystyczna definicja entropii S = kln(X*) - dla dowolnego stanu
S = kln(E) - dla stanu równowagi
Dla układu izolowanego w zadanym stanie makroskopowym S = kln. Entropia układu znajdującego się w określonym stanie makroskopowym jest to wielkość proporcjonalna do logarytmu wagi statystycznej , a więc i prawdopodobieństwa tego stanu ( k- stała Boltzmanna). Dla układu równowagowego S osiąga maksimum, gdyż stanowi równowagi odpowiada największa wartość . Przejściu układu ze stanu równowagi do stanu nierównowagi towarzyszy zmniejszenie się S. Definicja S = kln pokrywa się z definicją termodynamiczną.
Statystycznie najbardziej prawdopodobnym stanem jest stan równowagi. Odpowiada on maksimum entropii. Prawdopodobieństwo makrostanu jest tym większe, im większa jest liczba realizujących go mikrostanów, czyli liczba mikrostanów musi być maksymalna.
Zespół statystyczny - zamiast jednego układu rozpatrujemy zespół wielu układów mających te same własności makroskopowe i te same wartości parametrów zewnętrznych, ale znajdujących się w innych stanach mikroskopowych. Zespół mikrokanoniczny to zespół układów izolowanych o zadanych E, V, N Zespół kanoniczny to zespół układów wymieniających między sobą (tzn. z otoczeniem) energię. Zakładamy, że wymiana energii jest bardzo mała w porównaniu z E układu (tzn. stałe oddziaływania), oraz że otoczenie jest duże w porównaniu z układem (tzn. w przybliżeniu stały stan makroskopowy otoczenia). Pozostałe układy wokół wybranego to termostat. Cały zespół kanoniczny jest w osłonie adiabatycznej, a wybrany układ w sztywnej osłonie diatermicznej.

(…)

… od dowolnego stanu, układ na pewno osiągnie stan bliski każdemu innemu stanowi, zgodnie z prawem zachowania energii.)
Całka ruchu nie zmienia się w czasie (ergodyczność)
Energia jako całka ruchu, hiperpowierzchnia energii:
Najważniejszą całką ruchu jest energia. Istotną jaj własnością jest addytywność. C wielkość jest addytywną, jeżeli jej wartość dla układu jako całości jest równa sumie wartości dla poszczególnych części układu - przy założeniu pomijalności oddziaływań między tymi częściami.
Jeśli układ jest konserwatywny (zewnętrzne pole jest polem stacjonarnym) to energia jest zawsze całką ruchu.
Czy układ może znaleźć się poza hiperpowłoką?
Jest to mało prawdopodobne, ale nie niemożliwe. Wtedy entropia maleje, a w procesach samorzutnych entropia nie będzie malała. Jeżeli układ jest na powierzchni…
… - w układzie znajdującym się w równowadze termodynamicznej energia przypadająca na każdy obrotowy i postępowy (translacyjny lub obrotowy) stopień swobody równa jest kT/2, natomiast na rotacyjny (na stopień swobody związany z drganiem ) przypada kT, gdzie k - stała Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna.
Gaz ferminowy rozkład Fermiego - Diraca
Gaz bozonowy rozkład Bosega - Einsteina
4
4
…
... zobacz całą notatkę