Z jej treści możemy dowiedzieć się więcej na takie tematy, jak: wektorowy operator różniczkowy, strumień pola wektorowego, wzór Stokesa. Notatka jest opatrzona wzorami i rysunkami.
Teoria pola
Niech
- obszar przestrzenny, ;
- pole skalarne, ;
- pole wektorowe, . Wektorowym operatorem różniczkowym (operatorem Hamiltona) nazywamy symboliczny wektor ,
.
Korzystając z symbolu łatwo podać definicje funkcji pola skalarnego F i wektorowego :
gradient pola F
,
dywergencja pola rotacja pola Niech S - powierzchnia dwustronna,
.
Strumieniem pola wektorowego przez powierzchnię S w kierunku wersora nazywamy całkę powierzchniową zorientowaną
Niech K - krzywa zamknięta
Cyrkulacją pola wzdłuż krzywej zamkniętej K nazywamy całkę krzywoliniową skierowaną
, gdzie- wersor styczny do krzywej K
skierowany zgodnie z tą krzywą.
Wzór Stokesa , gdzie krzywa K i powierzchnia S mają zgodną orientację.
Wzór Gaussa - Ostrogradskiego .
Definicja
Niech ,
.
Pole wektorowe nazywamy polem potencjalnym, gdy , .
Funkcję U nazywamy potencjałem skalarnym pola wektorowego .
Jeśli V - jednospójny powierzchniowo, to
- potencjalne Ponadto potencjał U wyznaczamy ze wzoru
, gdzie jest ustalonym punktem, Przykład
Obliczyć pracę wykonaną przez siłę działającą wzdłuż obwodu trójkąta ABC o wierzchołkach A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
Praca Aby skorzystać z twierdzenia Stokesa wyznaczmy wersor normalny do trójkąta ABC. Płaszczyzna zawierająca ten trójkąt ma równanie
,
a więc wektor normalny oraz wersor normalny mają współrzędne:
, .
Ponadto
.
Zatem
,
gdzie przy czym D jest rzutem ABC na płaszczyznę OXY.
Stąd zamieniając całkę powierzchniową niezorientowaną na całkę podwójną otrzymujemy 3
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)