Teoria gier- wykład 1

WYKŁAD 1 02.03.2011
T: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ
„W całej spuściźnie piśmienniczej człowieka daje się zauważyć zaabsorbowanie konfliktem interesów; prawdopodobnie tylko traktatom o Bogu, miłości i przeżyciach wewnętrznych poświęcono równie wiele uwagi” R. Luce, H. Raiffa.
Rys historyczny:
Teoria gier i postępowanie ekonomiczne John von Neumann i Oskar Morgenstern 1944
Publikacje z lat 1928 i 1937 - John von Neumann
Publikacje z lat 1921 i 1933 - E. Borel
Publikacja z roku 1925 - H. Steinhaus (Definicje potrzebne do teorii gry i pościgu)
Każdy opis gry powinien zawierać:
listę uczestników gry (dwóch graczy, wielu graczy, ale i np. człowiek kontra natura, gracz kontra giełda)
listę wszystkich możliwości postępowania każdego gracza - możliwe sposoby postępowania gracza to jego strategie, czyli kompletne opisy postępowania gracza w każdej sytuacji, w której może się on znaleźć; oczywiście zakłada się, iż wszystkie wyniki możliwe w danej sytuacji są dobrze określone i każdy gracz ma układ preferencji względem nich oraz wszystkie zmienne, wpływające na wynik są również dobrze określone
opis dostępnej graczom informacji
określenie celów, do których dążą gracze - efektem gry jest wypłata dla każdego gracza; nie zawsze jest to jednak wygrana, którą można mierzyć uzyskanymi pieniędzmi, czasami trzeba uwzględnić również pewne niemierzalne aspekty wygranej, takie jak zadowolenie gracza, lepsze perspektywy na przyszłość; wówczas do opisu wartości funkcji wypłaty używa się teorii użyteczności, pozwalającej opisywać wygraną gracza, na którą składa się wiele czynników; zadaniem gracza jest więc maksymalizacja swojej użyteczności
PRZYKŁAD 1
W grze uczestniczą dwaj partnerzy, partner I i partner II. Każdy z nich wybiera jedną z dwu liczb: 4 i 5 - przy czym wyboru swojego dokonują jeden bez wiedzy drugiego. Następnie obaj ujawniają wybrane przez siebie liczby i tworzą ich sumę. Jeżeli suma ta jest wielokrotnością trzech, to żaden z nich nie otrzymuje wygranej. Jeżeli suma jest o 1 większa od wielokrotności trzech, partner II wypłaca partnerowi I 1 zł, jeżeli natomiast suma jest o 1 mniejsza od wielokrotności trzech, partner I wypłaca partnerowi II 1 zł. Z punktu widzenia finansów partnera I
Gracz I zawsze 5, gracz II - zawsze 4, ponieważ w tych sytuacjach mogą co najmniej nie przegrać; ponieważ tak będą się zachowywać, wynik zawsze będzie 0. PRZYKŁAD 2
Każdy z partnerów wybiera jedną z liczb 3 i 4.

(…)

…, co oczywiście przewidziało USA. s
Stratega nie należy oceniać na podstawie wyników przyjętych wyborów, a na podstawie jego zdolności strategicznych ujawnionych w całej sytuacji z ryzykiem.
Strategie mieszane zwiększają poziom bezpieczeństwa. II
4
5
I
4
-1
0
5
0
1
II
3
4
I
3
0
1
4
1
-1
II
4
5
I
4
-1
0
5
0
1
Japonia
pn.
płd.
USA
pn.
2
2
płd.
1
3
…
…. Z punktu widzenia finansów partnera I
Kiedy I wybiera 3, to II wybiera 3; dlatego I wybierze 4; wtedy II wybierze 4; wtedy I ponownie wybierze 3, aby nie stracić. Sytuacja nie ma rozwiązania, bo żaden z partnerów nie zdecyduje się na ruch. Gry w postaci normalnej
Definicja
Para Gn=(X, K) nazywa się n-osobową grą w postaci normalnej, gdzie:
X - zbiór stanów w grze Gn
Xi - zbiór strategii i-tego gracza…
… to czy jest ona strategią optymalną?
Odp. Nie. Strategie mieszane:
Strategią mieszaną nazywamy rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze strategii czystych; jest to określenie ile razy należy posłużyć się kolejnymi strategiami, by uzyskać optymalny efekt. („Na 10 razy 2 razy muszę zagrać strategią I, a 8 razy - strategią II”).
Każda strategia czysta jest szczególnym przypadkiem strategii mieszanej. Randomizacja jest sensowna…
... zobacz całą notatkę