Finanse i bankowość- wykład 3

WYKŁAD 3 T: GRY O SUMIE NIEZEROWEJ
W grach o sumie zerowej z konsultacji pomiędzy graczami przed grą nie mogli oni uzyskać żadnych korzyści. β1 β2 boks
α1 (2,1) (-1,-1)
α2 (-1,-1) (1,2)
balet
Gra nie ma sumy zerowej; jest grą nieściśle konkurencyjna. Jest punkt, który jest lepszy dla jednego gracza, ale dla drugiego nie jest zupełnie niekorzystny dla drugiego. Gry o sumie niezerowej dzieli się więc na dwie grupy:
gry kooperacyjne
gry niekooperacyjne
Dla macierzy z przykładu szukamy punktu równowagi: Jeśli punkt równowagi to miejsce, w którym żadnemu z graczy nie opłaca się zmienić strategii, jeśli drugi jej nie zmieni. W tym przypadku oznacza to, że α2, β2 i α1, β1 są punktami równowagi. Problem; dwa punkty równowagi, nie dostarczające tej samej wygranej. Ponadto nie ma przekątniowej zamienności punktów równowagi. Można spróbować zastosować strategię mieszaną. Macierz wypłat dla I gracza:
p 2 -1
1-p -1 1
2p - (1-p) = -1p + 1-p
3p - 1 = -2p + 1
5p = 2
p = 2/5
Powinien grać z prawdopodobieństwem 2/5 strategią α1 i 3/5 strategią α2 Wygrana gracza I przy strategii gracza II β1 = 2 * 2/5 = 3/5 = 1/5 = poziom bezpieczeństwa gracza II
Wygrana gracza II przy strategii β1 = 1 * 2/5 - 3/5
Wygrana gracza II przy strategii β2 = -2/5 + 6/5 = 4/5
Czyli wygrane; β1 (1/5; -1/5) β2 (1/5; 4/5).
Gracz II zagra strategią β2 bo mu się bardziej opłaca; stąd gracz I myśli że zagra strategią α2. Przy przeprowadzeniu analogicznego rozumowania dla gracza II:
p 1 -1
1-p -1 2
1p - (1-p) = -p + 2*(1-p)
5p = 3
p =3/5
Gracz II powinien grać (3/5; 2/5)
Gracz I strategia α1 - gracz II wygrana:2 * 3/5 - 1*2/5 = 4/5 Gracz II strategia α1 - gracz II wygrana 3/5 - 2/5 = 1/5 I α2 3/5 + 2/5 II α2 1/5
Strategie mieszane też nie dają rozwiązania, bo pary strategii nie są w równowadze. Wartość oczekiwana wygranej to 1,5. Można ją osiągnąć tylko jeśli dopuści się porozumiewanie się czyli tylko w grach kooperacyjnych. nie przyzna się przyzna się
nie przyzna się po 5 lat I gracz 10 lat

(…)

… - nierozwiązywalny w sensie Nasha.
Przykład 1
(1,3) (2,3)
(1,1) (2,1) Wszystkie punkty są punktami równowagi Nasha; ta gra jest rozwiązywalna z punktu widzenia Nasha.
Przykład 2
(1,1) (0,0)
(0,0) (2,2) Istniejące punkty równowagi nie są zamienne, więc nie jest rozwiązywalna z punktu widzenia Nasha. Jest jednak rozwiązywalna w ścisłym sensie, bo punktu (1,1) nie bierze się pod uwagę przy rozważaniach w ścisłym sensie.
Przykład 3 (dylemat więźnia)
W sensie Nasha jest rozwiązywalna, bo jest tylko jeden punkt równowagi (0,1; 0,1)
W ścisłym sensie nie jest rozwiązywalna, bo punkt dopuszczalny nie jest punktem równowagi - punkt równowagi (0,1; 0,1) nie jest dopuszczalny.
…
... zobacz całą notatkę