Szeregi - wykład

Nasza ocena:

3
Pobrań: 14
Wyświetleń: 994
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Szeregi - wykład - strona 1 Szeregi - wykład - strona 2

Fragment notatki:

SZEREGI LICZBOWE
I. Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu. Znaleźć sumę szeregu (o ile istnieje).

1)
n=1

4)
n=1

7)
n=1

10)
n=1

13)
n=1

16)
n=1

1
(2n−1)(2n+1)
2)
2006( 1 )n
2
5)
n=1

8)
ln 2n+1
2n+3
11)
1
n=1

1
14)
1
( 5 )n
6)
n=1

3n +6n
9n
n=1

2+4+8+...+2n
4n
n=1

2 n+1 − 2 n+2
3)
5n+3
n=1

4·3n +3·6n
9n

1
n(n+3)
9)
−2
n(n+1)
12)

3−
2n+1
ln n+1
n
n=1


2n+3
n=1

3



( n + 2 − 2 n + 1 + n)
15)
n=1
2
(n+1)(n+2)
n=1
1
n(n+1)(n+2)
II. Stosując kryterium d’Alamberta zbadać zbieżność szeregów.

1)
n=1

4)
n=1

7)
n=1

5n
n!
2)
n!
nn
5)
n=1

n=1

n2
2n
3)
(n!)2 ·3n
(2n)!
6)
n=1

n=1
(n!)2
((2n)!)2
(2n−5)!
73n
3n n!
1·3·...·(2n−1)
III. Stosując kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów.

1)
n=1

4)
7)

7n
n7
2)
1
5)
n=1

n2
n=1 2

5n+1
( 3n+1 )n
n=1
n=1

8)

n6
6n
3)
n5
2n +3n
6)
n=1

n=1

2
(n+1)n
n2 n
n=1 n ·3
9)
n100 ·99n
100n
22n
3n
arc sinn
n=1
1
n
IV. Zbadać zbieżność szeregów.

1)
n=1

4)
1
(n+1)2 −1
3n
( 3n+1 )n
n=1

7)
n=1

10)
2n−1
nn
ln
n=1

13)
n=1

n2 +1
n2
4n
n10 3n
n+1
16)
( 2n2 −15 )n
n=1

1
19)
n2 ( 2 )n
n=1

2
1
22)
(1 + n )−n
n=1

2nn
25)
n2n +3
n=1
∞ ( n+1 )2n2
28)

2)
n=1

5)
1
(3n−2)(3n+1)
n
2n+1
( 3n+1 ) 2
n=1

8)
n=1

11)
n=1

14)
n=1

n!
n=1

9)
2n n!
nn
12)
3n
n!
15)
n2
n=1

n=1

n=1

18)
n=1

21)
n=1

2
23)
( n+1 )n
n+2
n=1

nn
26)
nn2 +3
n=1
n
n=1
n=1

6)
2n+1
n+1
17)
( 2n−3 )n
n=1

2 n
20)

3)
7n
1
n=1

24)
n=1

27)
n=1
n2
2n2 +1
n3
en
2n−1
(n−1)!
n10 3n
4n
n!(2n)!
(3n)!
n2 +n
nn +3
3n +4n
2n +5n
n ln( 2n+4 )
2n+1
log−n n
V. Stosując warunek konieczny zbieżności szeregu lub kryterium porównawcze, zbadać
zbieżność szeregów.

1)
n=1

4)
n=1

8)
n=1

11)
n=1

14)
n=1

17)
n=1


nn
1
cos n
2)
sin 2π
n
6)
2+(−1)n
3n
1
n3 +1
n=1 √


n+1− n
12)
n
n=1

ln n
15)
(n−1)2 (2n+1)
n=1
1
n
2(−1)
n=1

3)
n=1

1
sin n2
n=1

7)
n=1

9)
1
sin n
sin2 n
n2
10)
n=1

13)
n=1

16)
n=1
1+n
1+n2
1
sin n
1
n+11
3n+1
n3 +3
n+1

(n+2) n−1
sin 10
n
VI. Zbadać zbieżność następujących szeregów naprzemiennych.

1)
1
(−1)n+1 n

2)
n=1

4)
1
(−1)n+1 n2
n=1
3)
1 n
)
n
6)
n=1

5)

1
(−1)n+1 √n+1+√n
(−1)
n+1
(1 +
n=1
1
(−1)n+1 2n
n=1

1
(−1)n+1 √n+1−√n
n=1
VII. Rozstrzygnąć, które z podanych szeregów są zbieżne warunkowo a które bezwzględnie.

1)

1
(−1)n+1 n
2)
1
(−1)n √n
5)
n=1

4)
n=1

7)
n+1
(−1)
n=1
2
n2n ( n+2 )n
n+3

1
(−1)n+1 (1 + n )n
3)
1
(−1)n n−ln n
6)
n
(−1)n+1 n+2
n=1
9)
n=1

n=1

8)
1
(−1)n+1 2n+1
n=1

3
n
(−1)n+1 2n
n=1

n
(−1)n n3 +3n
n=1
ODPOWIEDZI
I.
1) 1
2) 11 3) 4√
4) 2006
5) ∞√
6) 5
7) 8 8) 0 9) ∞ 10) − ∞
2
6
2

3
1
1
11) − 2 12) 2 13) 2 − 1 14) 3 − 1 15) 2 2 + 1 16) 4
II.
1) zbieżny 2) zbieżny 3) zbieżny 4) zbieżny 5) zbieżny 6) rozbieżny 7) rozbieżny
III.
1) rozbieżny 2) zbieżny 3) zbieżny ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz