To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
SZEREGI LICZBOWE
I. Na podstawie definicji zbadać zbieżność szeregu. Znaleźć sumę szeregu (o ile istnieje).
∞
1)
n=1
∞
4)
n=1
∞
7)
n=1
∞
10)
n=1
∞
13)
n=1
∞
16)
n=1
∞
1
(2n−1)(2n+1)
2)
2006( 1 )n
2
5)
n=1
∞
8)
ln 2n+1
2n+3
11)
1
n=1
∞
1
14)
1
( 5 )n
6)
n=1
∞
3n +6n
9n
n=1
∞
2+4+8+...+2n
4n
n=1
∞
2 n+1 − 2 n+2
3)
5n+3
n=1
∞
4·3n +3·6n
9n
∞
1
n(n+3)
9)
−2
n(n+1)
12)
√
3−
2n+1
ln n+1
n
n=1
∞
√
2n+3
n=1
∞
3
√
√
√
( n + 2 − 2 n + 1 + n)
15)
n=1
2
(n+1)(n+2)
n=1
1
n(n+1)(n+2)
II. Stosując kryterium d’Alamberta zbadać zbieżność szeregów.
∞
1)
n=1
∞
4)
n=1
∞
7)
n=1
∞
5n
n!
2)
n!
nn
5)
n=1
∞
n=1
∞
n2
2n
3)
(n!)2 ·3n
(2n)!
6)
n=1
∞
n=1
(n!)2
((2n)!)2
(2n−5)!
73n
3n n!
1·3·...·(2n−1)
III. Stosując kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów.
∞
1)
n=1
∞
4)
7)
∞
7n
n7
2)
1
5)
n=1
∞
n2
n=1 2
∞
5n+1
( 3n+1 )n
n=1
n=1
∞
8)
∞
n6
6n
3)
n5
2n +3n
6)
n=1
∞
n=1
∞
2
(n+1)n
n2 n
n=1 n ·3
9)
n100 ·99n
100n
22n
3n
arc sinn
n=1
1
n
IV. Zbadać zbieżność szeregów.
∞
1)
n=1
∞
4)
1
(n+1)2 −1
3n
( 3n+1 )n
n=1
∞
7)
n=1
∞
10)
2n−1
nn
ln
n=1
∞
13)
n=1
∞
n2 +1
n2
4n
n10 3n
n+1
16)
( 2n2 −15 )n
n=1
∞
1
19)
n2 ( 2 )n
n=1
∞
2
1
22)
(1 + n )−n
n=1
∞
2nn
25)
n2n +3
n=1
∞ ( n+1 )2n2
28)
∞
2)
n=1
∞
5)
1
(3n−2)(3n+1)
n
2n+1
( 3n+1 ) 2
n=1
∞
8)
n=1
∞
11)
n=1
∞
14)
n=1
∞
n!
n=1
∞
9)
2n n!
nn
12)
3n
n!
15)
n2
n=1
∞
n=1
∞
n=1
∞
18)
n=1
∞
21)
n=1
∞
2
23)
( n+1 )n
n+2
n=1
∞
nn
26)
nn2 +3
n=1
n
n=1
n=1
∞
6)
2n+1
n+1
17)
( 2n−3 )n
n=1
∞
2 n
20)
∞
3)
7n
1
n=1
∞
24)
n=1
∞
27)
n=1
n2
2n2 +1
n3
en
2n−1
(n−1)!
n10 3n
4n
n!(2n)!
(3n)!
n2 +n
nn +3
3n +4n
2n +5n
n ln( 2n+4 )
2n+1
log−n n
V. Stosując warunek konieczny zbieżności szeregu lub kryterium porównawcze, zbadać
zbieżność szeregów.
∞
1)
n=1
∞
4)
n=1
∞
8)
n=1
∞
11)
n=1
∞
14)
n=1
∞
17)
n=1
∞
∞
nn
1
cos n
2)
sin 2π
n
6)
2+(−1)n
3n
1
n3 +1
n=1 √
√
∞
n+1− n
12)
n
n=1
∞
ln n
15)
(n−1)2 (2n+1)
n=1
1
n
2(−1)
n=1
∞
3)
n=1
∞
1
sin n2
n=1
∞
7)
n=1
∞
9)
1
sin n
sin2 n
n2
10)
n=1
∞
13)
n=1
∞
16)
n=1
1+n
1+n2
1
sin n
1
n+11
3n+1
n3 +3
n+1
√
(n+2) n−1
sin 10
n
VI. Zbadać zbieżność następujących szeregów naprzemiennych.
∞
1)
1
(−1)n+1 n
∞
2)
n=1
∞
4)
1
(−1)n+1 n2
n=1
3)
1 n
)
n
6)
n=1
∞
5)
∞
1
(−1)n+1 √n+1+√n
(−1)
n+1
(1 +
n=1
1
(−1)n+1 2n
n=1
∞
1
(−1)n+1 √n+1−√n
n=1
VII. Rozstrzygnąć, które z podanych szeregów są zbieżne warunkowo a które bezwzględnie.
∞
1)
∞
1
(−1)n+1 n
2)
1
(−1)n √n
5)
n=1
∞
4)
n=1
∞
7)
n+1
(−1)
n=1
2
n2n ( n+2 )n
n+3
∞
1
(−1)n+1 (1 + n )n
3)
1
(−1)n n−ln n
6)
n
(−1)n+1 n+2
n=1
9)
n=1
∞
n=1
∞
8)
1
(−1)n+1 2n+1
n=1
∞
3
n
(−1)n+1 2n
n=1
∞
n
(−1)n n3 +3n
n=1
ODPOWIEDZI
I.
1) 1
2) 11 3) 4√
4) 2006
5) ∞√
6) 5
7) 8 8) 0 9) ∞ 10) − ∞
2
6
2
√
3
1
1
11) − 2 12) 2 13) 2 − 1 14) 3 − 1 15) 2 2 + 1 16) 4
II.
1) zbieżny 2) zbieżny 3) zbieżny 4) zbieżny 5) zbieżny 6) rozbieżny 7) rozbieżny
III.
1) rozbieżny 2) zbieżny 3) zbieżny
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)