Szeregi:
; Kryterium porównawcze w postaci limesowej:
Jeżeli i są szeregami o wyrazach dodatnich i istnieje skończona granica ,to szeregi są jednocześnie zbieżne albo oba są rozbieżne.
Kryterium de Alemberta:
Jeżeli dla szeregu o wyrazach dodatnich istnieje granica , to g1, to jest rozbieżny
Kryterium Cauchy'ego:
Jeżeli dla o wyrazach nieujemnych istnieje granica , to g1, to jest rozbieżny
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Def. Szereg zbieżny nazywamy bezwzględnie zbieżnym, gdy jest zbieżny Def. Szereg zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym, gdy jest rozbieżny
jest zbieżny jest zbieżny
Def. Szereg nazywamy szeregiem naprzemienny
Kryterium Leibniza:
Szereg naprzemienny i taki, że (an) jest nierosnący i jest zbieżny
Kryterium całkowe:
Niech m oznacza dowolną liczbę naturalną.
Jeżeli funkcja jest nierosnąca, to są jednocześnie zbieżne albo jednocześnie rozbieżne.
Niech Y
Def. Mówimy, że (fn) jest zbieżny do funkcji f w zbiorze X, gdy Def. Mówimy, że (fn) jest jednostajnie zbieżny do funkcji f w zbiorze X, jeżeli Tw. Jeżeli są funkcjami ciągłymi dla każdego i , to funkcja f jest ciągła w X.
Def. Niech (fn) będzie ciągiem funkcyjnym określonym w X
Niech Ciąg (sn) nazywamy szeregiem funkcyjnym o wyrazie ogólnym fn i zapisujemy Mówimy, że szereg funkcyjny jest zbieżny w X, jeżeli (sn) jest zbieżny w X. Jeżeli to mówimy, że szereg jest zbieżny i jego suma wynosi s(x) co zapisujemy Def. Szereg nazywamy jednostajnie zbieżnym w X, jeżeli Tw. Weierstrassa Jeżeli i zbieżny to jest jednostajnie zbieżny wX.
Tw. (o całkowaniu szeregu funkcyjnego)
Jeżeli wyrazy szeregu są funkcjami ciągłymi w i jest jednostajnie w , to Tw. ( o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego)
Jeżeli wyrazy szeregu mają ciągłe pochodne w , gdzie jest jednostajnie zbieżny w , to
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)