Rudolf Carnap - „Struktura przestrzeni”
Postulat równoległych Euklidesa
Zagadnienie charakteru geometrii w fizyce jest bardzo istotne dla filozofii nauki, gdyż wiedzie do analizy systemu czasoprzestrzennego. Co więcej, dwa rodzaje geometrii: matematyczna i fizyczna, stanowią wzorce dwóch sposobów zdobywania wiedzy: apriorycznego i empirycznego.
Geometria matematyczna stanowiła jeden z najwcześniej rozwiniętych systemów matematycznych. Jednym z podstawowych aksjomatów geometrii euklidesowej był aksjomat o równoległych:
Na każdej płaszczyźnie, na której istnieje prosta L oraz punkt P, który nie należy do L, istnieje dokładnie jedna prosta L', która przechodzi przez P i jest równoległa do L.
Wokół tego aksjomatu rozpoczęły się debaty: czy można nazwać go aksjomatem, skoro nie wydaje się tak prosty jak pozostałe aksjomaty Euklidesa. Wielu matematyków uznało, że jest to twierdzenie wyprowadzane z innych aksjomatów. Immanuel Kant uważał, że władza wyobraźni, nazwana później intuicją, jest niezawodna. Jeżeli prawdę geometryczną ujrzeliśmy jasno w umyśle, to widzieliśmy ją z absolutną pewnością. Kantyści tak właśnie interpretowali aksjomat Euklidesa o równoległych. Wielu matematyków uznało, że udało się im wyprowadzić ten „aksjomat” z innych aksjomatów - popełniali oczywiście błędy, ale były one trudne do wykrycia. Działo się tak, gdyż w pewnym momencie wywodu pojawiało się lepiej lub gorzej ukryte odwołanie do wyobraźni. Metody odróżniania czysto logicznego wywodu od wywodu wprowadzającego pozalogiczne składniki, bazujące na intuicji, zaczęła być znana dopiero w drugiej połowie XIX wieku, dzięki rozwojowi logii systematycznej. Przed powstaniem współczesnej logiki nie istniał żaden system logiczny zawierający reguły odpowiednie, by radzić sobie z geometrią (logika tradycyjna zajmowała się tylko predykatami jednoargumentowymi, podczas gdy geometria opiera się na relacjach zachodzących pomiędzy wieloma argumentami). Logika współczesna zdemaskowała ukryte, intuicyjne przesłanki w wyżej wymienionych dowodach. Okazało się, że te przesłanki są niczym innym, jak tylko zamaskowanym aksjomatem o równoległych. Dopiero w XIX wieku, dzięki rygorystycznej logice, pokazano, że aksjomat o równoległych jest niezależny od pozostałych aksjomatów Euklidesa.
Badanie konsekwencji tego odkrycia doprowadziło do postępu w matematyce XIX wieku: jeżeli aksjomat o równoległych jest niezależny od pozostałych aksjomatów Euklidesa, to można zastąpić go niekompatybilnym z nim zdaniem, nie powodując jednocześnie sprzeczności z pozostałymi aksjomatami. Próbując różnych alternatyw, stworzono nowe systemy aksjomatyczne - geometrie nieeuklidesowe.
(…)
… euklidesową;
Przy wyborze drugiej z opcji, należałoby wprowadzić nowe prawa w optyce, gdyż fizyczną geometrię badamy także za pomocą promieni świetlnych. Poincaré przewidywał, że fizycy zawsze wybraliby tę właśnie możliwość - woleliby zachować prostszą geometrię euklidesową. Jednak już kilka lat później Einstein opracował ogólną teorię względności, w której zastosował geometrię nieeuklidesową.
Stosując…
…, dla przestrzeni Łobaczewskiego, k<0, dla przestrzeni euklidesowej, k=0) otrzymuje się różne przestrzenie.
Fakt, że Einstein zastosował geometrię nieeuklidesową w ogólnej teorii względności, przeniósł tę dyscyplinę z czystej matematyki w dziedzinę fizyki, gdzie stała się ona opisem rzeczywistego świata.
Poincaré kontra Einstein
Henri Poincaré poświęcił wiele uwagi problemowi geometrycznej struktury przestrzeni…
… geometryczny można sobie wyobrazić, podając przykład sfery - dwa „południki” są prostopadłe do „równika” - powinny być więc w stosunku do siebie równoległe. A jednak przecinają się na „biegunach”.
Dalej, w geometrii euklidesowej suma kątów w trójkącie równa jest 180 stopni. W geometrii Łobaczewskiego suma kątów w trójkącie wynosi mniej, a w geometrii Riemanna - więcej od 180 stopni. W geometrii eliptycznej odchylenie od 180 stopni łatwo zrozumieć na przykładzie sfery. Dwa kąty leżące przy podstawie („równiku) trójkąta, którego wierzchołkami są: miejsca przecięcie „południków” z „równikiem” oraz biegun, mają po 90 stopni. Suma wszystkich kątów musi więc przekroczyć 180 stopni. Pytanie o to, czy przestrzeń jest Euklidesowa, postawił w XIX wieku Gauss. Jednakże jego współczesnym każda próba empirycznego badania…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)