Statystyka matematyczna prof. dr hab. Grażyna Trzpiot, Wykład 2
ROZKŁAD CHI2
Niech Z1,...,Zn ~ N(0,1) i są niezależne, wówczas każda zmienna losowa będąca sumą ich kwadratów ma rozkład χ2 o n-stopniach swobody.
dla χ2 0
rozkład prawostronnie symetryczny
Siła asymetrii f. gęstości maleje wraz ze wzrostem stopni swobody.
Twierdzenie
Rozkład χ2 przy dużej liczbie swobody (n→∞) jest zbieżny do rozkładu normalnego:
gdy n→∞
Jeżeli U jest wektorem o n-wymiarowym rozkładzie normalnym N(O,I) to forma kwadratowa UTAU ma rozkład χ2 o liczbie stopni swobody równej rzędowi r(A).
Dla rozkładu χ2 zachodzi tw. o addytywności.
ROZKŁAD t-STUDENTA
Zmienną losową o rozkładzie t-Studenta o n stopniach swobody definiujemy jako:
gdzie Z-N(0,1) oraz X2- χ2 o n-stopniach swobody. Zmienne Z i X są niezależne:
Rozkład symetryczny: Dla szczególnej wartości parametru n=1 mamy: rozkład CAUCHEGO
- nie istnieją momenty skończone tego rozkładu!!!
ROZKŁAD F.SNEDECORA
Zmienne losowe o rozkładzie F.Snedecora o n i p stopniach swobody to:
gdzie: X,Y χ2 o n i p stopniach swobody
Zmienne X i Y są niezależne.
rozkład prawostronnie asymetryczny
Jeżeli zmienna t ma rozkład Studenta z k-stopniami swobody to zmienna losowa F=t2, ma rozkład F.Snedecora o n=1 i p=k stopniach swobody.
Jeżeli p→∞ to zmienna losowa nF ma graniczny rozkład χ2 o n-stopniach swobody.
Z definicji rozkładu F.Snedecora wiemy, że zmienna: ma rozkład F.Snedecora o p i n stopniach swobody.
Twierdzenie graniczne np. Lindberga - Levy'ego
Jeżeli dana ciągła zmienna losowa X ma rozkład o funkcji gęstości f(x) i jeżeli g(x) jest pewną monotoniczną i różniczkowalną funkcją, a h jest funkcją do niej odwrotną, to zmienna losowa Y=g(x) ma rozkład określony funkcją:
, gdzie x=h(y)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)